Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 19.7 → 0.2

Time: 7.1s

Precision: binary64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(y, \left(\left(0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z \cdot z}\right) + \frac{2.181088706546648}{{z}^{3}}, x\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq -300061.8228383657:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;z \leq 102598.36636811464:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{t_0}}{t_0}\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304)))
        (t_1
         (fma
          y
          (+
           (-
            (+ 0.0692910599291889 (/ 0.07512208616047561 z))
            (/ 0.4046220386999212 (* z z)))
           (/ 2.181088706546648 (pow z 3.0)))
          x)))
   (if (<= z -300061.8228383657)
     t_1
     (if (<= z 102598.36636811464)
       (fma
        y
        (expm1
         (log1p
          (/
           (/
            (fma
             z
             (fma z 0.0692910599291889 0.4917317610505968)
             0.279195317918525)
            t_0)
           t_0)))
        x)
       t_1))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = sqrt(fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304));
	double t_1 = fma(y, (((0.0692910599291889 + (0.07512208616047561 / z)) - (0.4046220386999212 / (z * z))) + (2.181088706546648 / pow(z, 3.0))), x);
	double tmp;
	if (z <= -300061.8228383657) {
		tmp = t_1;
	} else if (z <= 102598.36636811464) {
		tmp = fma(y, expm1(log1p(((fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / t_0) / t_0))), x);
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y, z)
	return Float64(x + Float64(Float64(y * Float64(Float64(Float64(Float64(z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / Float64(Float64(Float64(z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304)))
end

↓

function code(x, y, z)
	t_0 = sqrt(fma(z, Float64(z + 6.012459259764103), 3.350343815022304))
	t_1 = fma(y, Float64(Float64(Float64(0.0692910599291889 + Float64(0.07512208616047561 / z)) - Float64(0.4046220386999212 / Float64(z * z))) + Float64(2.181088706546648 / (z ^ 3.0))), x)
	tmp = 0.0
	if (z <= -300061.8228383657)
		tmp = t_1;
	elseif (z <= 102598.36636811464)
		tmp = fma(y, expm1(log1p(Float64(Float64(fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / t_0) / t_0))), x);
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := N[(x + N[(N[(y * N[(N[(N[(N[(z * 0.0692910599291889), $MachinePrecision] + 0.4917317610505968), $MachinePrecision] * z), $MachinePrecision] + 0.279195317918525), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(z + 6.012459259764103), $MachinePrecision] * z), $MachinePrecision] + 3.350343815022304), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_, y_, z_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(z * N[(z + 6.012459259764103), $MachinePrecision] + 3.350343815022304), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y * N[(N[(N[(0.0692910599291889 + N[(0.07512208616047561 / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.4046220386999212 / N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.181088706546648 / N[Power[z, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, -300061.8228383657], t$95$1, If[LessEqual[z, 102598.36636811464], N[(y * N[(Exp[N[Log[1 + N[(N[(N[(z * N[(z * 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968), $MachinePrecision] + 0.279195317918525), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	19.7
Target	0.4
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -300061.82283836568 or 102598.366368114643 < z

   1. Initial program 40.5

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 32.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\left(0.0692910599291889 + \left(2.181088706546648 \cdot \frac{1}{{z}^{3}} + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}}, x\right) \]

   4. Simplified 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\left(\left(0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z \cdot z}\right) + \frac{2.181088706546648}{{z}^{3}}}, x\right) \]

   if -300061.82283836568 < z < 102598.366368114643

   1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Applied expm1-log1p-u_binary64 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right)}, x\right) \]

   4. Applied add-sqr-sqrt_binary64 0.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}}\right)\right), x\right) \]

   5. Applied associate-/r*_binary64 0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}}\right)\right), x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -300061.8228383657:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(\left(0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z \cdot z}\right) + \frac{2.181088706546648}{{z}^{3}}, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 102598.36636811464:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(\left(0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z \cdot z}\right) + \frac{2.181088706546648}{{z}^{3}}, x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022129 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))