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Precision: binary64
\[\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{{g}^{2} - {h}^{2}}\\ t_1 := \log \left(g + t_0\right)\\ t_2 := \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\\ t_3 := \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(t_2 - g\right)}\\ \mathbf{if}\;2 \cdot a \leq -3.991902884307353 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;t_3 + \sqrt[3]{0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(t_1 + \log \left(\frac{-1}{a}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;2 \cdot a \leq 2.8974824116342774 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;t_3 + \sqrt[3]{-0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(t_1 - \log a\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(t_0 - g\right) - \log a\right)} + \sqrt[3]{\left(g + t_2\right) \cdot \frac{-1}{2 \cdot a}}\\ \end{array} \]
\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt{{g}^{2} - {h}^{2}}\\
t_1 := \log \left(g + t_0\right)\\
t_2 := \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\\
t_3 := \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(t_2 - g\right)}\\
\mathbf{if}\;2 \cdot a \leq -3.991902884307353 \cdot 10^{-306}:\\
\;\;\;\;t_3 + \sqrt[3]{0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(t_1 + \log \left(\frac{-1}{a}\right)\right)}\\

\mathbf{elif}\;2 \cdot a \leq 2.8974824116342774 \cdot 10^{-38}:\\
\;\;\;\;t_3 + \sqrt[3]{-0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(t_1 - \log a\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\sqrt[3]{0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(t_0 - g\right) - \log a\right)} + \sqrt[3]{\left(g + t_2\right) \cdot \frac{-1}{2 \cdot a}}\\


\end{array}

(FPCore (g h a)
 :precision binary64
 (+
  (cbrt (* (/ 1.0 (* 2.0 a)) (+ (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h))))))
  (cbrt (* (/ 1.0 (* 2.0 a)) (- (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h))))))))
↓
(FPCore (g h a)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (- (pow g 2.0) (pow h 2.0))))
        (t_1 (log (+ g t_0)))
        (t_2 (sqrt (- (* g g) (* h h))))
        (t_3 (cbrt (* (/ 1.0 (* 2.0 a)) (- t_2 g)))))
   (if (<= (* 2.0 a) -3.991902884307353e-306)
     (+
      t_3
      (* (cbrt 0.5) (exp (* 0.3333333333333333 (+ t_1 (log (/ -1.0 a)))))))
     (if (<= (* 2.0 a) 2.8974824116342774e-38)
       (+ t_3 (* (cbrt -0.5) (exp (* 0.3333333333333333 (- t_1 (log a))))))
       (+
        (* (cbrt 0.5) (exp (* 0.3333333333333333 (- (log (- t_0 g)) (log a)))))
        (cbrt (* (+ g t_2) (/ -1.0 (* 2.0 a)))))))))
double code(double g, double h, double a) {
	return cbrt(((1.0 / (2.0 * a)) * (-g + sqrt(((g * g) - (h * h)))))) + cbrt(((1.0 / (2.0 * a)) * (-g - sqrt(((g * g) - (h * h))))));
}
↓
double code(double g, double h, double a) {
	double t_0 = sqrt((pow(g, 2.0) - pow(h, 2.0)));
	double t_1 = log((g + t_0));
	double t_2 = sqrt(((g * g) - (h * h)));
	double t_3 = cbrt(((1.0 / (2.0 * a)) * (t_2 - g)));
	double tmp;
	if ((2.0 * a) <= -3.991902884307353e-306) {
		tmp = t_3 + (cbrt(0.5) * exp((0.3333333333333333 * (t_1 + log((-1.0 / a))))));
	} else if ((2.0 * a) <= 2.8974824116342774e-38) {
		tmp = t_3 + (cbrt(-0.5) * exp((0.3333333333333333 * (t_1 - log(a)))));
	} else {
		tmp = (cbrt(0.5) * exp((0.3333333333333333 * (log((t_0 - g)) - log(a))))) + cbrt(((g + t_2) * (-1.0 / (2.0 * a))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Bits error versus a

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (*.f64 2 a) < -3.99190288430735316e-306

    1. Initial program 35.6

      \[\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} \]

    2. Taylor expanded in a around -inf 35.4

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \color{blue}{\sqrt[3]{0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(\sqrt{{g}^{2} - {h}^{2}} + g\right) + \log \left(\frac{-1}{a}\right)\right)}} \]

    if -3.99190288430735316e-306 < (*.f64 2 a) < 2.8974824116342774e-38

    1. Initial program 37.4

      \[\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} \]

    2. Taylor expanded in a around 0 36.9

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \color{blue}{\sqrt[3]{-0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(\sqrt{{g}^{2} - {h}^{2}} + g\right) - \log a\right)}} \]

    if 2.8974824116342774e-38 < (*.f64 2 a)

    1. Initial program 34.5

      \[\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} \]

    2. Taylor expanded in a around 0 35.0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(\sqrt{{g}^{2} - {h}^{2}} - g\right) - \log a\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification35.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;2 \cdot a \leq -3.991902884307353 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\sqrt{g \cdot g - h \cdot h} - g\right)} + \sqrt[3]{0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(g + \sqrt{{g}^{2} - {h}^{2}}\right) + \log \left(\frac{-1}{a}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;2 \cdot a \leq 2.8974824116342774 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\sqrt{g \cdot g - h \cdot h} - g\right)} + \sqrt[3]{-0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(g + \sqrt{{g}^{2} - {h}^{2}}\right) - \log a\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{0.5} \cdot e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(\sqrt{{g}^{2} - {h}^{2}} - g\right) - \log a\right)} + \sqrt[3]{\left(g + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right) \cdot \frac{-1}{2 \cdot a}}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022129 
(FPCore (g h a)
  :name "2-ancestry mixing, positive discriminant"
  :precision binary64
  (+ (cbrt (* (/ 1.0 (* 2.0 a)) (+ (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h)))))) (cbrt (* (/ 1.0 (* 2.0 a)) (- (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h))))))))