Average Error: 29.5 → 8.8
Time: 8.2s
Precision: binary64
\[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.9923966394082389:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}, \mathsf{fma}\left(0.06172839506172839, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{8}}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{11}}}, -0.0411522633744856, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.013917355932293938:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + t_0 \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)}\\ \end{array} \]
(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (if (<= x -0.9923966394082389)
     (fma
      0.3333333333333333
      (cbrt (/ 1.0 (* x x)))
      (fma
       0.06172839506172839
       (cbrt (/ 1.0 (pow x 8.0)))
       (fma
        (cbrt (/ 1.0 (pow x 11.0)))
        -0.0411522633744856
        (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111))))
     (if (<= x 0.013917355932293938)
       (- (pow (+ x 1.0) 0.3333333333333333) (cbrt x))
       (/ 1.0 (+ (pow x 0.6666666666666666) (* t_0 (+ (cbrt x) t_0))))))))
double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}
↓
double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (x <= -0.9923966394082389) {
		tmp = fma(0.3333333333333333, cbrt((1.0 / (x * x))), fma(0.06172839506172839, cbrt((1.0 / pow(x, 8.0))), fma(cbrt((1.0 / pow(x, 11.0))), -0.0411522633744856, (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111))));
	} else if (x <= 0.013917355932293938) {
		tmp = pow((x + 1.0), 0.3333333333333333) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 1.0 / (pow(x, 0.6666666666666666) + (t_0 * (cbrt(x) + t_0)));
	}
	return tmp;
}

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end
↓
function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.9923966394082389)
		tmp = fma(0.3333333333333333, cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))), fma(0.06172839506172839, cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 8.0))), fma(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 11.0))), -0.0411522633744856, Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111))));
	elseif (x <= 0.013917355932293938)
		tmp = Float64((Float64(x + 1.0) ^ 0.3333333333333333) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64((x ^ 0.6666666666666666) + Float64(t_0 * Float64(cbrt(x) + t_0))));
	end
	return tmp
end

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.9923966394082389], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(0.06172839506172839 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 11.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.0411522633744856 + N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.013917355932293938], N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 0.6666666666666666], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\
\mathbf{if}\;x \leq -0.9923966394082389:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}, \mathsf{fma}\left(0.06172839506172839, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{8}}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{11}}}, -0.0411522633744856, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\right)\right)\right)\\

\mathbf{elif}\;x \leq 0.013917355932293938:\\
\;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + t_0 \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)}\\


\end{array}

Error

Bits error versus x

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if x < -0.99239663940823886

    1. Initial program 59.7

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

    2. Taylor expanded in x around inf 44.7

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.06172839506172839 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{8}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) - \left(0.1111111111111111 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.0411522633744856 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{11}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

    3. Simplified30.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}, \mathsf{fma}\left(0.06172839506172839, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{8}}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{11}}}, -0.0411522633744856, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\right)\right)\right)} \]

    if -0.99239663940823886 < x < 0.0139173559322939375

    1. Initial program 0.0

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

    2. Applied pow1/3_binary640.0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

    if 0.0139173559322939375 < x

    1. Initial program 59.7

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

    2. Applied flip3--_binary6459.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

    3. Simplified1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

    4. Simplified4.5

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification8.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.9923966394082389:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}, \mathsf{fma}\left(0.06172839506172839, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{8}}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{11}}}, -0.0411522633744856, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.013917355932293938:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022129 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))