Average Error: 58.2 → 0.5
Time: 3.9s
Precision: binary64
\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
↓
\[\frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)}{2} \]
\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}
↓
\frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)}{2}

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   0.016666666666666666
   (pow x 5.0)
   (fma
    0.0003968253968253968
    (pow x 7.0)
    (fma 0.3333333333333333 (pow x 3.0) (* x 2.0))))
  2.0))
double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}
↓
double code(double x) {
	return fma(0.016666666666666666, pow(x, 5.0), fma(0.0003968253968253968, pow(x, 7.0), fma(0.3333333333333333, pow(x, 3.0), (x * 2.0)))) / 2.0;
}

Error

Bits error versus x

Derivation

  1. Initial program 58.2

    \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

  2. Taylor expanded in x around 0 0.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{2} \]

  3. Applied egg-rr0.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)}}{2} \]

  4. Final simplification0.5

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)}{2} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022129 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))