Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, E

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Precision: binary64

\[[y, z] = \mathsf{sort}([y, z]) \\]

Math

\[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := 4 \cdot \left(x \cdot i\right) + \left(4 \cdot \left(t \cdot a\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\\ t_2 := \left(c \cdot b + 18 \cdot \left(t \cdot \left(\left(z \cdot x\right) \cdot y\right)\right)\right) - t_1\\ \mathbf{if}\;t \leq -1.0827335004684045 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;t \leq 9.16768781234981 \cdot 10^{-117}:\\ \;\;\;\;\left(c \cdot b + 18 \cdot \left(z \cdot \left(x \cdot \left(t \cdot y\right)\right)\right)\right) - t_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (-
  (-
   (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c))
   (* (* x 4.0) i))
  (* (* j 27.0) k)))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (+ (* 4.0 (* x i)) (+ (* 4.0 (* t a)) (* 27.0 (* k j)))))
        (t_2 (- (+ (* c b) (* 18.0 (* t (* (* z x) y)))) t_1)))
   (if (<= t -1.0827335004684045e+41)
     t_2
     (if (<= t 9.16768781234981e-117)
       (- (+ (* c b) (* 18.0 (* z (* x (* t y))))) t_1)
       t_2))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	return (((((((x * 18.0) * y) * z) * t) - ((a * 4.0) * t)) + (b * c)) - ((x * 4.0) * i)) - ((j * 27.0) * k);
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	double t_1 = (4.0 * (x * i)) + ((4.0 * (t * a)) + (27.0 * (k * j)));
	double t_2 = ((c * b) + (18.0 * (t * ((z * x) * y)))) - t_1;
	double tmp;
	if (t <= -1.0827335004684045e+41) {
		tmp = t_2;
	} else if (t <= 9.16768781234981e-117) {
		tmp = ((c * b) + (18.0 * (z * (x * (t * y))))) - t_1;
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Bits error versus k

Target

Original	5.5
Target	1.6
Herbie	1.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -1.6210815397541398 \cdot 10^{-69}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \mathbf{elif}\;t < 165.68027943805222:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot \left(z \cdot t\right)\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) + \left(c \cdot b - 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < -1.08273350046840451e41 or 9.1676878123498101e-117 < t

   1. Initial program 2.9

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

   2. Simplified 10.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 5.5

      \[\leadsto \color{blue}{\left(c \cdot b + 18 \cdot \left(y \cdot \left(t \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.7

      \[\leadsto \left(c \cdot b + 18 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{y \cdot \left(t \cdot \left(z \cdot x\right)\right)}\right)}^{3}}\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right) \]

   5. Taylor expanded in y around 0 57.1

      \[\leadsto \left(c \cdot b + 18 \cdot \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\log \left(t \cdot \left(z \cdot x\right)\right) + \log y\right)}\right)}^{3}}\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right) \]

   6. Simplified 2.6

      \[\leadsto \left(c \cdot b + 18 \cdot \color{blue}{\left(t \cdot \left(\left(z \cdot x\right) \cdot y\right)\right)}\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right) \]

   if -1.08273350046840451e41 < t < 9.1676878123498101e-117

   1. Initial program 7.5

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

   2. Simplified 1.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 3.9

      \[\leadsto \color{blue}{\left(c \cdot b + 18 \cdot \left(y \cdot \left(t \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right)} \]

   4. Applied egg-rr 3.9

      \[\leadsto \left(c \cdot b + 18 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{y \cdot \left(t \cdot \left(z \cdot x\right)\right)}\right)}^{3}}\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right) \]

   5. Applied egg-rr 1.1

      \[\leadsto \left(c \cdot b + 18 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(y \cdot t\right) \cdot x\right) \cdot z\right)}\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq -1.0827335004684045 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\left(c \cdot b + 18 \cdot \left(t \cdot \left(\left(z \cdot x\right) \cdot y\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(x \cdot i\right) + \left(4 \cdot \left(t \cdot a\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \leq 9.16768781234981 \cdot 10^{-117}:\\ \;\;\;\;\left(c \cdot b + 18 \cdot \left(z \cdot \left(x \cdot \left(t \cdot y\right)\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(x \cdot i\right) + \left(4 \cdot \left(t \cdot a\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(c \cdot b + 18 \cdot \left(t \cdot \left(\left(z \cdot x\right) \cdot y\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(x \cdot i\right) + \left(4 \cdot \left(t \cdot a\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022125 
(FPCore (x y z t a b c i j k)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, E"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -1.6210815397541398e-69) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b))) (if (< t 165.68027943805222) (+ (- (* (* 18.0 y) (* x (* z t))) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* c b) (* 27.0 (* k j)))) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b)))))

  (- (- (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c)) (* (* x 4.0) i)) (* (* j 27.0) k)))