Average Error: 30.6 → 0.3
Time: 16.6s
Precision: binary64
\[-1 \leq x \land x \leq 1\]
\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left({x}^{6}, -0.0007275132275132275, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)\right) \]
\frac{x - \sin x}{\tan x}
↓
\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left({x}^{6}, -0.0007275132275132275, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  0.16666666666666666
  (* x x)
  (fma
   (pow x 6.0)
   -0.0007275132275132275
   (* (pow x 4.0) -0.06388888888888888))))
double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}
↓
double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, (x * x), fma(pow(x, 6.0), -0.0007275132275132275, (pow(x, 4.0) * -0.06388888888888888)));
}

Error

Bits error versus x

Target

Original30.6
Target0.8
Herbie0.3
\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

  1. Initial program 30.6

    \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

  2. Taylor expanded in x around 0 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left({x}^{6}, -0.0007275132275132275, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)} \]

  4. Final simplification0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left({x}^{6}, -0.0007275132275132275, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022125 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))