Average Error: 1.0 → 1.2
Time: 7.2s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\\ t_1 := \sqrt[3]{e^{t_0}}\\ 2 \cdot \left(\log \left(t_1 \cdot t_1\right) + t_0 \cdot 0.3333333333333333\right) \end{array} \]
2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\\
t_1 := \sqrt[3]{e^{t_0}}\\
2 \cdot \left(\log \left(t_1 \cdot t_1\right) + t_0 \cdot 0.3333333333333333\right)
\end{array}

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ (acos (/ g h)) 3.0))))
        (t_1 (cbrt (exp t_0))))
   (* 2.0 (+ (log (* t_1 t_1)) (* t_0 0.3333333333333333)))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos(-g / h) / 3.0));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos(g / h) / 3.0)));
	double t_1 = cbrt(exp(t_0));
	return 2.0 * (log(t_1 * t_1) + (t_0 * 0.3333333333333333));
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied egg1.2

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right)\right)} \]

  4. Applied egg1.2

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

  5. Final simplification1.2

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022125 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))