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Precision: binary64
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
↓
\[\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]
\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a 0.3333333333333333)
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* (- a 0.3333333333333333) 9.0))) rand))))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt(9.0 * (a - (1.0 / 3.0)))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return (a - 0.3333333333333333) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((a - 0.3333333333333333) * 9.0)) * rand));
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus rand

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Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

  2. Final simplification0.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022104 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))