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Precision: binary32
\[\left(0 \leq s \land s \leq 256\right) \land \left(10^{-6} < r \land r < 1000000\right)\]
\[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
↓
\[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{r \cdot \left(s \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{s \cdot 3}}}{{\left(\sqrt[3]{6 \cdot \left(s \cdot \left(r \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{r \cdot \left(s \cdot \left(\pi \cdot 6\right)\right)}} \]
\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}
↓
\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{r \cdot \left(s \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{s \cdot 3}}}{{\left(\sqrt[3]{6 \cdot \left(s \cdot \left(r \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{r \cdot \left(s \cdot \left(\pi \cdot 6\right)\right)}}

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r))
  (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))
↓
(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* r (* s (* 2.0 PI))))
  (/
   (* 0.75 (exp (/ (- r) (* s 3.0))))
   (* (pow (cbrt (* 6.0 (* s (* r PI)))) 2.0) (cbrt (* r (* s (* PI 6.0))))))))
float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf(-r / s)) / (((2.0f * ((float) M_PI)) * s) * r)) + ((0.75f * expf(-r / (3.0f * s))) / (((6.0f * ((float) M_PI)) * s) * r));
}
↓
float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf(-r / s)) / (r * (s * (2.0f * ((float) M_PI))))) + ((0.75f * expf(-r / (s * 3.0f))) / (powf(cbrtf(6.0f * (s * (r * ((float) M_PI)))), 2.0f) * cbrtf(r * (s * (((float) M_PI) * 6.0f)))));
}

Error

Bits error versus s

Bits error versus r

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Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

  2. Applied add-cube-cbrt_binary320.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}}} \]

  3. Applied pow1_binary320.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}\right)}^{1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}} \]

  4. Applied pow1_binary320.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}\right)}^{1}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}\right)}^{1}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}} \]

  5. Applied pow-prod-down_binary320.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}\right)}^{1}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}} \]

  6. Simplified0.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{6 \cdot \left(s \cdot \left(\pi \cdot r\right)\right)}\right)}^{2}\right)}}^{1} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}} \]

  7. Final simplification0.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{r \cdot \left(s \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{s \cdot 3}}}{{\left(\sqrt[3]{6 \cdot \left(s \cdot \left(r \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{r \cdot \left(s \cdot \left(\pi \cdot 6\right)\right)}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022103 
(FPCore (s r)
  :name "Disney BSSRDF, PDF of scattering profile"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0 s) (<= s 256.0)) (and (< 1e-6 r) (< r 1000000.0)))
  (+ (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r)) (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))