exp2 (problem 3.3.7)

Average Error: 29.9 → 0.5

Time: 6.7s

Precision: binary64

Math

\[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  0.08333333333333333
  (pow x 4.0)
  (fma
   0.002777777777777778
   (pow x 6.0)
   (fma x x (* 4.96031746031746e-5 (pow x 8.0))))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
}

↓

double code(double x) {
	return fma(0.08333333333333333, pow(x, 4.0), fma(0.002777777777777778, pow(x, 6.0), fma(x, x, (4.96031746031746e-5 * pow(x, 8.0)))));
}

Error

Bits error versus x

Target

Original	29.9
Target	0.0
Herbie	0.5

\[4 \cdot {\sinh \left(\frac{x}{2}\right)}^{2} \]

Derivation

1. Initial program 29.9

   \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + {x}^{2}\right)\right)} \]

3. Simplified 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 0.5

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022103 
(FPCore (x)
  :name "exp2 (problem 3.3.7)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 4.0 (pow (sinh (/ x 2.0)) 2.0))

  (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))