Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, I

Average Error: 3.5 → 1.5

Time: 8.6s

Precision: binary64

Math

\[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := \frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t}\\ \mathbf{if}\;t_1 - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right) \leq \infty:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}, c - b, t_1\right)\right)}, x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{\log \left(e^{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, b, \mathsf{fma}\left(z, \sqrt{a}, c \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}\right)}{t}\right)}, x\right)}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (/
  x
  (+
   x
   (*
    y
    (exp
     (*
      2.0
      (-
       (/ (* z (sqrt (+ t a))) t)
       (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0)))))))))))

↓

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (/ (* z (sqrt (+ t a))) t)))
   (if (<=
        (- t_1 (* (- b c) (- (+ a 0.8333333333333334) (/ 2.0 (* t 3.0)))))
        INFINITY)
     (/
      x
      (fma
       y
       (pow
        (exp 2.0)
        (fma
         (- (+ a 0.8333333333333334) (/ 0.6666666666666666 t))
         (- c b)
         t_1))
       x))
     (/
      x
      (fma
       y
       (pow
        (exp 2.0)
        (/
         (log
          (exp
           (fma
            0.6666666666666666
            b
            (fma z (sqrt a) (* c -0.6666666666666666)))))
         t))
       x)))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	return x / (x + (y * exp(2.0 * (((z * sqrt(t + a)) / t) - ((b - c) * ((a + (5.0 / 6.0)) - (2.0 / (t * 3.0))))))));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	double t_1 = (z * sqrt(t + a)) / t;
	double tmp;
	if ((t_1 - ((b - c) * ((a + 0.8333333333333334) - (2.0 / (t * 3.0))))) <= ((double) INFINITY)) {
		tmp = x / fma(y, pow(exp(2.0), fma(((a + 0.8333333333333334) - (0.6666666666666666 / t)), (c - b), t_1)), x);
	} else {
		tmp = x / fma(y, pow(exp(2.0), (log(exp(fma(0.6666666666666666, b, fma(z, sqrt(a), (c * -0.6666666666666666))))) / t)), x);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Target

Original	3.5
Target	3.0
Herbie	1.5

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -2.118326644891581 \cdot 10^{-50}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\left(a \cdot c + 0.8333333333333334 \cdot c\right) - a \cdot b\right)}}\\ \mathbf{elif}\;t < 5.196588770651547 \cdot 10^{-123}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \frac{\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(\left(3 \cdot t\right) \cdot \left(a - \frac{5}{6}\right)\right) - \left(\left(\frac{5}{6} + a\right) \cdot \left(3 \cdot t\right) - 2\right) \cdot \left(\left(a - \frac{5}{6}\right) \cdot \left(\left(b - c\right) \cdot t\right)\right)}{\left(\left(t \cdot t\right) \cdot 3\right) \cdot \left(a - \frac{5}{6}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (/.f64 (*.f64 z (sqrt.f64 (+.f64 t a))) t) (*.f64 (-.f64 b c) (-.f64 (+.f64 a (/.f64 5 6)) (/.f64 2 (*.f64 t 3))))) < +inf.0

   1. Initial program 0.7

      \[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}} \]

   2. Simplified 0.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}, c - b, \frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t}\right)\right)}, x\right)}} \]

   if +inf.0 < (-.f64 (/.f64 (*.f64 z (sqrt.f64 (+.f64 t a))) t) (*.f64 (-.f64 b c) (-.f64 (+.f64 a (/.f64 5 6)) (/.f64 2 (*.f64 t 3)))))

   1. Initial program 64.0

      \[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}} \]

   2. Simplified 37.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}, c - b, \frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t}\right)\right)}, x\right)}} \]

   3. Taylor expanded in t around 0 18.4

      \[\leadsto \frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\left(0.6666666666666666 \cdot b + \sqrt{a} \cdot z\right) - 0.6666666666666666 \cdot c}{t}\right)}}, x\right)} \]

   4. Simplified 18.4

      \[\leadsto \frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, b, \mathsf{fma}\left(z, \sqrt{a}, c \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}{t}\right)}}, x\right)} \]

   5. Applied add-log-exp_binary64 18.5

      \[\leadsto \frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{\log \left(e^{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, b, \mathsf{fma}\left(z, \sqrt{a}, c \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}\right)}}{t}\right)}, x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right) \leq \infty:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}, c - b, \frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t}\right)\right)}, x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{\log \left(e^{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, b, \mathsf{fma}\left(z, \sqrt{a}, c \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}\right)}{t}\right)}, x\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022097 
(FPCore (x y z t a b c)
  :name "Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, I"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -2.118326644891581e-50) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (+ (* a c) (* 0.8333333333333334 c)) (* a b))))))) (if (< t 5.196588770651547e-123) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (/ (- (* (* z (sqrt (+ t a))) (* (* 3.0 t) (- a (/ 5.0 6.0)))) (* (- (* (+ (/ 5.0 6.0) a) (* 3.0 t)) 2.0) (* (- a (/ 5.0 6.0)) (* (- b c) t)))) (* (* (* t t) 3.0) (- a (/ 5.0 6.0))))))))) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (/ (* z (sqrt (+ t a))) t) (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0))))))))))))

  (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (/ (* z (sqrt (+ t a))) t) (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0)))))))))))