Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.1 → 0.2

Time: 5.7s

Precision: binary64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -2.5646723226590353 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;0.0692910599291889 \cdot y + x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 187827912.74167347:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{t_0}\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, 0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z}\right) + \mathsf{fma}\left(0.279195317918525, \frac{y}{t_0}, x\right)\\ \end{array}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (<= z -2.5646723226590353e+132)
   (+ (* 0.0692910599291889 y) x)
   (let* ((t_0 (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304)))
     (if (<= z 187827912.74167347)
       (fma
        y
        (expm1
         (log1p
          (/
           (fma
            z
            (fma z 0.0692910599291889 0.4917317610505968)
            0.279195317918525)
           t_0)))
        x)
       (+
        (fma y 0.0692910599291889 (* 0.07512208616047561 (/ y z)))
        (fma 0.279195317918525 (/ y t_0) x))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (z <= -2.5646723226590353e+132) {
		tmp = (0.0692910599291889 * y) + x;
	} else {
		double t_0 = fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304);
		double tmp_1;
		if (z <= 187827912.74167347) {
			tmp_1 = fma(y, expm1(log1p(fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / t_0)), x);
		} else {
			tmp_1 = fma(y, 0.0692910599291889, (0.07512208616047561 * (y / z))) + fma(0.279195317918525, (y / t_0), x);
		}
		tmp = tmp_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.1
Target	0.4
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < -2.5646723226590353e132

   1. Initial program 59.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 54.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around inf 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{0.0692910599291889 \cdot y + x} \]

   if -2.5646723226590353e132 < z < 187827912.7416735

   1. Initial program 2.4

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Applied expm1-log1p-u_binary64 0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right)}, x\right) \]

   if 187827912.7416735 < z

   1. Initial program 40.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 32.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in y around 0 41.0

      \[\leadsto \color{blue}{0.4917317610505968 \cdot \frac{y \cdot z}{3.350343815022304 + \left({z}^{2} + 6.012459259764103 \cdot z\right)} + \left(0.279195317918525 \cdot \frac{y}{3.350343815022304 + \left({z}^{2} + 6.012459259764103 \cdot z\right)} + \left(0.0692910599291889 \cdot \frac{y \cdot {z}^{2}}{3.350343815022304 + \left({z}^{2} + 6.012459259764103 \cdot z\right)} + x\right)\right)} \]

   4. Simplified 34.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)} \cdot \left(z \cdot \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right)\right) + \mathsf{fma}\left(0.279195317918525, \frac{y}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   5. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291889 \cdot y\right)} + \mathsf{fma}\left(0.279195317918525, \frac{y}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]

   6. Simplified 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, 0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z}\right)} + \mathsf{fma}\left(0.279195317918525, \frac{y}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -2.5646723226590353 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;0.0692910599291889 \cdot y + x\\ \mathbf{elif}\;z \leq 187827912.74167347:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, 0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z}\right) + \mathsf{fma}\left(0.279195317918525, \frac{y}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022097 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))