Average Error: 21.7 → 0.4
Time: 6.7s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right) - \left(\sin re \cdot im + \sin re \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right)\right) \]
\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right) - \left(\sin re \cdot im + \sin re \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (*
   (sin re)
   (+
    (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666)
    (* (pow im 7.0) -0.0001984126984126984)))
  (+
   (* (sin re) im)
   (* (sin re) (log1p (expm1 (* 0.008333333333333333 (pow im 5.0))))))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return (sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) + (pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984))) - ((sin(re) * im) + (sin(re) * log1p(expm1(0.008333333333333333 * pow(im, 5.0)))));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original21.7
Target0.1
Herbie0.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 21.7

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 4.4

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(\sin re \cdot im + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

  3. Simplified4.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re \cdot \left(im + 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} \]

  4. Applied log1p-expm1-u_binary640.4

    \[\leadsto \left(-\sin re \cdot \left(im + \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right)}\right)\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \]

  5. Applied distribute-lft-in_binary640.4

    \[\leadsto \left(-\color{blue}{\left(\sin re \cdot im + \sin re \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)}\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \]

  6. Final simplification0.4

    \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right) - \left(\sin re \cdot im + \sin re \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022088 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))