Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 19.5 → 0.2

Time: 4.7s

Precision: binary64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -3652392.703526792 \lor \neg \left(z \leq 1617375.7045492383\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(\left(0.07512208616047561 + \frac{2.181088706546648}{z \cdot z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (or (<= z -3652392.703526792) (not (<= z 1617375.7045492383)))
   (+
    (fma 0.0692910599291889 y x)
    (*
     (/ y z)
     (-
      (+ 0.07512208616047561 (/ 2.181088706546648 (* z z)))
      (/ 0.4046220386999212 z))))
   (fma
    y
    (expm1
     (log1p
      (/
       (fma z (fma z 0.0692910599291889 0.4917317610505968) 0.279195317918525)
       (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304))))
    x)))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if ((z <= -3652392.703526792) || !(z <= 1617375.7045492383)) {
		tmp = fma(0.0692910599291889, y, x) + ((y / z) * ((0.07512208616047561 + (2.181088706546648 / (z * z))) - (0.4046220386999212 / z)));
	} else {
		tmp = fma(y, expm1(log1p(fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304))), x);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	19.5
Target	0.4
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -3652392.7035267921 or 1617375.70454923832 < z

   1. Initial program 39.6

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 32.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around inf 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.181088706546648 \cdot \frac{y}{{z}^{3}} + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + \left(0.0692910599291889 \cdot y + x\right)\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{y}{{z}^{2}}} \]

   4. Simplified 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(\left(0.07512208616047561 + \frac{2.181088706546648}{z \cdot z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z}\right)} \]

   if -3652392.7035267921 < z < 1617375.70454923832

   1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Applied expm1-log1p-u_binary64 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right)}, x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -3652392.703526792 \lor \neg \left(z \leq 1617375.7045492383\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(\left(0.07512208616047561 + \frac{2.181088706546648}{z \cdot z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022088 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))