Average Error: 13.6 → 0.5
Time: 21.7s
Precision: binary32
\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
↓
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)} \]
\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}
↓
\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))
↓
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (-
    (+ (* 2.0 (* maxCos (pow ux 2.0))) (* 2.0 ux))
    (+
     (pow ux 2.0)
     (+ (* (pow ux 2.0) (pow maxCos 2.0)) (* 2.0 (* maxCos ux))))))))
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos))));
}
↓
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(((2.0f * (maxCos * powf(ux, 2.0f))) + (2.0f * ux)) - (powf(ux, 2.0f) + ((powf(ux, 2.0f) * powf(maxCos, 2.0f)) + (2.0f * (maxCos * ux)))));
}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

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Derivation

  1. Initial program 13.6

    \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

  2. Simplified13.6

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(ux, maxCos, 1 - ux\right), ux - \mathsf{fma}\left(ux, maxCos, 1\right), 1\right)}} \]

  3. Taylor expanded in ux around 0 0.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

  4. Final simplification0.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022087 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))