Average Error: 13.6 → 0.3
Time: 18.2s
Precision: binary32
\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]
\[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\\ \left({\left(t_0 \cdot \cos \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{t_0}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + maxCos \cdot ux\right)\right)} \end{array} \]
\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\\
\left({\left(t_0 \cdot \cos \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{t_0}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + maxCos \cdot ux\right)\right)}
\end{array}

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))
↓
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* (* uy 2.0) PI))))
   (*
    (*
     (pow
      (* t_0 (cos (* (cbrt PI) (* (* uy 2.0) (* (cbrt PI) (cbrt PI))))))
      0.3333333333333333)
     (cbrt t_0))
    (sqrt
     (-
      (* 2.0 (fma maxCos (* ux ux) ux))
      (fma ux ux (* (* maxCos ux) (+ 2.0 (* maxCos ux)))))))))
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos))));
}
↓
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = cosf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI));
	return (powf((t_0 * cosf(cbrtf((float) M_PI) * ((uy * 2.0f) * (cbrtf((float) M_PI) * cbrtf((float) M_PI))))), 0.3333333333333333f) * cbrtf(t_0)) * sqrtf((2.0f * fmaf(maxCos, (ux * ux), ux)) - fmaf(ux, ux, ((maxCos * ux) * (2.0f + (maxCos * ux)))));
}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

Derivation

  1. Initial program 13.6

    \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

  2. Taylor expanded in ux around 0 0.3

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)}} \]

  4. Applied add-cube-cbrt_binary320.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)} \]

  5. Applied add-cube-cbrt_binary320.4

    \[\leadsto \left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right) \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)} \]

  6. Applied associate-*r*_binary320.4

    \[\leadsto \left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \color{blue}{\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)} \]

  7. Simplified0.4

    \[\leadsto \left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)} \]

  8. Applied pow1/3_binary321.9

    \[\leadsto \left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)} \cdot \color{blue}{{\cos \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)}^{0.3333333333333333}}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)} \]

  9. Applied pow1/3_binary321.8

    \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot {\cos \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)} \]

  10. Applied pow-prod-down_binary320.3

    \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)} \]

  11. Final simplification0.3

    \[\leadsto \left({\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\pi} \cdot \sqrt[3]{\pi}\right)\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + maxCos \cdot ux\right)\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022082 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))