math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.6 → 0.8

Time: 24.7s

Precision: binary64

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[-\mathsf{fma}\left(im, \sin re, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \sin re \cdot {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \sin re \cdot {im}^{3}, 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (fma
   im
   (sin re)
   (fma
    0.008333333333333333
    (* (sin re) (pow im 5.0))
    (fma
     0.16666666666666666
     (* (sin re) (pow im 3.0))
     (* 0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im 7.0))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return -fma(im, sin(re), fma(0.008333333333333333, (sin(re) * pow(im, 5.0)), fma(0.16666666666666666, (sin(re) * pow(im, 3.0)), (0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im, 7.0))))));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	43.6
Target	0.3
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.6

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + 2 \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

4. Applied add-cube-cbrt_binary64 1.8

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)}} \]

5. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(\sin re \cdot im + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

6. Simplified 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{-\mathsf{fma}\left(im, \sin re, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {im}^{5} \cdot \sin re, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3} \cdot \sin re, 0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 0.8

   \[\leadsto -\mathsf{fma}\left(im, \sin re, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \sin re \cdot {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \sin re \cdot {im}^{3}, 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022081 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))