Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

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Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\\ t_2 := a \cdot \left(x \cdot t\right)\\ t_3 := i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\\ t_4 := y \cdot z - t \cdot a\\ t_5 := \left(x \cdot t_4 - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + t_1\\ t_6 := c \cdot \left(z \cdot b\right)\\ \mathbf{if}\;t_5 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;t_3 - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(t_6 + t_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t_5 \leq 8.473368124153155 \cdot 10^{+305}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, t_4, t_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_7 := \sqrt[3]{t_2}\\ t_3 - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(t_6 + t_7 \cdot \left(t_7 \cdot t_7\right)\right)\right) \end{array}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (+
  (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i))))
  (* j (- (* c a) (* y i)))))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* j (- (* a c) (* y i))))
        (t_2 (* a (* x t)))
        (t_3 (+ (* i (* t b)) (+ (* c (* a j)) (* y (* x z)))))
        (t_4 (- (* y z) (* t a)))
        (t_5 (+ (- (* x t_4) (* b (- (* z c) (* t i)))) t_1))
        (t_6 (* c (* z b))))
   (if (<= t_5 (- INFINITY))
     (- t_3 (+ (* i (* y j)) (+ t_6 t_2)))
     (if (<= t_5 8.473368124153155e+305)
       (fma b (- (* t i) (* z c)) (fma x t_4 t_1))
       (let* ((t_7 (cbrt t_2)))
         (- t_3 (+ (* y (* i j)) (+ t_6 (* t_7 (* t_7 t_7))))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return ((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double t_1 = j * ((a * c) - (y * i));
	double t_2 = a * (x * t);
	double t_3 = (i * (t * b)) + ((c * (a * j)) + (y * (x * z)));
	double t_4 = (y * z) - (t * a);
	double t_5 = ((x * t_4) - (b * ((z * c) - (t * i)))) + t_1;
	double t_6 = c * (z * b);
	double tmp;
	if (t_5 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_3 - ((i * (y * j)) + (t_6 + t_2));
	} else if (t_5 <= 8.473368124153155e+305) {
		tmp = fma(b, ((t * i) - (z * c)), fma(x, t_4, t_1));
	} else {
		double t_7 = cbrt(t_2);
		tmp = t_3 - ((y * (i * j)) + (t_6 + (t_7 * (t_7 * t_7))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.9
Target	19.9
Herbie	2.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < -1.469694296777705 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x < 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i)))) < -inf.0

   1. Initial program 64.0

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Simplified 64.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in b around 0 12.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]

   4. Applied *-un-lft-identity_binary64 12.1

      \[\leadsto \left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(\color{blue}{\left(1 \cdot y\right)} \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right) \]

   5. Applied associate-*l*_binary64 12.1

      \[\leadsto \left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(\color{blue}{1 \cdot \left(y \cdot \left(i \cdot j\right)\right)} + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right) \]

   6. Simplified 11.9

      \[\leadsto \left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(1 \cdot \color{blue}{\left(i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)} + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right) \]

   if -inf.0 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i)))) < 8.47336812415315484e305

   1. Initial program 0.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Simplified 0.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Applied prod-diff_binary64 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, z, -a \cdot t\right) + \mathsf{fma}\left(-a, t, a \cdot t\right)}, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right) \]

   4. Simplified 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(y \cdot z - a \cdot t\right)} + \mathsf{fma}\left(-a, t, a \cdot t\right), j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, \left(y \cdot z - a \cdot t\right) + \color{blue}{0}, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right) \]

   if 8.47336812415315484e305 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i))))

   1. Initial program 62.7

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Simplified 62.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in b around 0 9.7

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]

   4. Applied add-cube-cbrt_binary64 9.8

      \[\leadsto \left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{a \cdot \left(t \cdot x\right)} \cdot \sqrt[3]{a \cdot \left(t \cdot x\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{a \cdot \left(t \cdot x\right)}}\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 2.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) \leq 8.473368124153155 \cdot 10^{+305}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + \sqrt[3]{a \cdot \left(x \cdot t\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{a \cdot \left(x \cdot t\right)} \cdot \sqrt[3]{a \cdot \left(x \cdot t\right)}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022081 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))