Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.1 → 0.2

Time: 5.6s

Precision: binary64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -71041047684.58499:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 90.42868150343809:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z \cdot z, z \cdot 0.4917317610505968\right) + 0.279195317918525}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(0.07512208616047561 + \frac{-0.4046220386999212}{z}\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (<= z -71041047684.58499)
   (fma y (+ 0.0692910599291889 (/ 0.07512208616047561 z)) x)
   (if (<= z 90.42868150343809)
     (fma
      y
      (/
       (+
        (fma 0.0692910599291889 (* z z) (* z 0.4917317610505968))
        0.279195317918525)
       (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304))
      x)
     (+
      (fma 0.0692910599291889 y x)
      (* (/ y z) (+ 0.07512208616047561 (/ -0.4046220386999212 z)))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (z <= -71041047684.58499) {
		tmp = fma(y, (0.0692910599291889 + (0.07512208616047561 / z)), x);
	} else if (z <= 90.42868150343809) {
		tmp = fma(y, ((fma(0.0692910599291889, (z * z), (z * 0.4917317610505968)) + 0.279195317918525) / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304)), x);
	} else {
		tmp = fma(0.0692910599291889, y, x) + ((y / z) * (0.07512208616047561 + (-0.4046220386999212 / z)));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.1
Target	0.4
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < -71041047684.584991

   1. Initial program 40.7

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 32.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around inf 0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889 + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}}, x\right) \]

   4. Simplified 0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}}, x\right) \]

   if -71041047684.584991 < z < 90.4286815034380851

   1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Applied fma-udef_binary64 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \frac{\color{blue}{z \cdot \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right) + 0.279195317918525}}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]

   4. Simplified 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z \cdot z, z \cdot 0.4917317610505968\right)} + 0.279195317918525}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]

   if 90.4286815034380851 < z

   1. Initial program 39.4

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 32.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Applied expm1-log1p-u_binary64 32.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right)}, x\right) \]

   4. Taylor expanded in z around inf 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + \left(0.0692910599291889 \cdot y + x\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{y}{{z}^{2}}} \]

   5. Simplified 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(0.07512208616047561 + \frac{-0.4046220386999212}{z}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -71041047684.58499:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 90.42868150343809:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z \cdot z, z \cdot 0.4917317610505968\right) + 0.279195317918525}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(0.07512208616047561 + \frac{-0.4046220386999212}{z}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022081 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))