Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, C

Average Error: 26.9 → 1.5

Time: 15.1s

Precision: binary64

Math

\[\frac{\left(x - 2\right) \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot 4.16438922228 + 78.6994924154\right) \cdot x + 137.519416416\right) \cdot x + y\right) \cdot x + z\right)}{\left(\left(\left(x + 43.3400022514\right) \cdot x + 263.505074721\right) \cdot x + 313.399215894\right) \cdot x + 47.066876606} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4.994033402817942 \cdot 10^{+40} \lor \neg \left(x \leq 2.844774379865759 \cdot 10^{+65}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x - 2}{\left(0.24013125253755718 + \left(\frac{5.86923874282773}{x} + \frac{931.6513700817767}{{x}^{3}}\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.05766301844525606, \frac{y}{{x}^{3}}, \frac{55.572073733743466}{x \cdot x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x - 2\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 4.16438922228, 78.6994924154\right), 137.519416416\right), y\right), z\right)}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, x + 43.3400022514, 263.505074721\right), 313.399215894\right), 47.066876606\right)}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (/
  (*
   (- x 2.0)
   (+
    (*
     (+ (* (+ (* (+ (* x 4.16438922228) 78.6994924154) x) 137.519416416) x) y)
     x)
    z))
  (+
   (* (+ (* (+ (* (+ x 43.3400022514) x) 263.505074721) x) 313.399215894) x)
   47.066876606)))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -4.994033402817942e+40) (not (<= x 2.844774379865759e+65)))
   (/
    (- x 2.0)
    (-
     (+
      0.24013125253755718
      (+ (/ 5.86923874282773 x) (/ 931.6513700817767 (pow x 3.0))))
     (fma
      0.05766301844525606
      (/ y (pow x 3.0))
      (/ 55.572073733743466 (* x x)))))
   (*
    (- x 2.0)
    (/
     (fma
      x
      (fma x (fma x (fma x 4.16438922228 78.6994924154) 137.519416416) y)
      z)
     (fma
      x
      (fma x (fma x (+ x 43.3400022514) 263.505074721) 313.399215894)
      47.066876606)))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return ((x - 2.0) * ((((((((x * 4.16438922228) + 78.6994924154) * x) + 137.519416416) * x) + y) * x) + z)) / (((((((x + 43.3400022514) * x) + 263.505074721) * x) + 313.399215894) * x) + 47.066876606);
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if ((x <= -4.994033402817942e+40) || !(x <= 2.844774379865759e+65)) {
		tmp = (x - 2.0) / ((0.24013125253755718 + ((5.86923874282773 / x) + (931.6513700817767 / pow(x, 3.0)))) - fma(0.05766301844525606, (y / pow(x, 3.0)), (55.572073733743466 / (x * x))));
	} else {
		tmp = (x - 2.0) * (fma(x, fma(x, fma(x, fma(x, 4.16438922228, 78.6994924154), 137.519416416), y), z) / fma(x, fma(x, fma(x, (x + 43.3400022514), 263.505074721), 313.399215894), 47.066876606));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	26.9
Target	0.9
Herbie	1.5

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < -3.326128725870005 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{y}{x \cdot x} + 4.16438922228 \cdot x\right) - 110.1139242984811\\ \mathbf{elif}\;x < 9.429991714554673 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\frac{x - 2}{1} \cdot \frac{\left(\left(\left(x \cdot 4.16438922228 + 78.6994924154\right) \cdot x + 137.519416416\right) \cdot x + y\right) \cdot x + z}{\left(\left(263.505074721 \cdot x + \left(43.3400022514 \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 313.399215894\right) \cdot x + 47.066876606}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{y}{x \cdot x} + 4.16438922228 \cdot x\right) - 110.1139242984811\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.99403340281794192e40 or 2.84477437986575909e65 < x

   1. Initial program 61.8

      \[\frac{\left(x - 2\right) \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot 4.16438922228 + 78.6994924154\right) \cdot x + 137.519416416\right) \cdot x + y\right) \cdot x + z\right)}{\left(\left(\left(x + 43.3400022514\right) \cdot x + 263.505074721\right) \cdot x + 313.399215894\right) \cdot x + 47.066876606} \]

   2. Simplified 61.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x - 2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 4.16438922228, 78.6994924154\right), 137.519416416\right), y\right), z\right)}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, x + 43.3400022514, 263.505074721\right), 313.399215894\right), 47.066876606\right)}} \]

   3. Applied associate-/l*_binary64 58.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x - 2}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, x + 43.3400022514, 263.505074721\right), 313.399215894\right), 47.066876606\right)}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 4.16438922228, 78.6994924154\right), 137.519416416\right), y\right), z\right)}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 2.6

      \[\leadsto \frac{x - 2}{\color{blue}{\left(0.24013125253755718 + \left(5.86923874282773 \cdot \frac{1}{x} + 931.6513700817767 \cdot \frac{1}{{x}^{3}}\right)\right) - \left(0.05766301844525606 \cdot \frac{y}{{x}^{3}} + 55.572073733743466 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}} \]

   5. Simplified 2.6

      \[\leadsto \frac{x - 2}{\color{blue}{\left(0.24013125253755718 + \left(\frac{5.86923874282773}{x} + \frac{931.6513700817767}{{x}^{3}}\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.05766301844525606, \frac{y}{{x}^{3}}, \frac{55.572073733743466}{x \cdot x}\right)}} \]

   if -4.99403340281794192e40 < x < 2.84477437986575909e65

   1. Initial program 2.0

      \[\frac{\left(x - 2\right) \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot 4.16438922228 + 78.6994924154\right) \cdot x + 137.519416416\right) \cdot x + y\right) \cdot x + z\right)}{\left(\left(\left(x + 43.3400022514\right) \cdot x + 263.505074721\right) \cdot x + 313.399215894\right) \cdot x + 47.066876606} \]

   2. Simplified 2.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x - 2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 4.16438922228, 78.6994924154\right), 137.519416416\right), y\right), z\right)}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, x + 43.3400022514, 263.505074721\right), 313.399215894\right), 47.066876606\right)}} \]

   3. Applied *-un-lft-identity_binary64 2.0

      \[\leadsto \frac{\left(x - 2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 4.16438922228, 78.6994924154\right), 137.519416416\right), y\right), z\right)}{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, x + 43.3400022514, 263.505074721\right), 313.399215894\right), 47.066876606\right)}} \]

   4. Applied times-frac_binary64 0.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x - 2}{1} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 4.16438922228, 78.6994924154\right), 137.519416416\right), y\right), z\right)}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, x + 43.3400022514, 263.505074721\right), 313.399215894\right), 47.066876606\right)}} \]

   5. Simplified 0.8

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x - 2\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 4.16438922228, 78.6994924154\right), 137.519416416\right), y\right), z\right)}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, x + 43.3400022514, 263.505074721\right), 313.399215894\right), 47.066876606\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4.994033402817942 \cdot 10^{+40} \lor \neg \left(x \leq 2.844774379865759 \cdot 10^{+65}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x - 2}{\left(0.24013125253755718 + \left(\frac{5.86923874282773}{x} + \frac{931.6513700817767}{{x}^{3}}\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.05766301844525606, \frac{y}{{x}^{3}}, \frac{55.572073733743466}{x \cdot x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x - 2\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 4.16438922228, 78.6994924154\right), 137.519416416\right), y\right), z\right)}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, x + 43.3400022514, 263.505074721\right), 313.399215894\right), 47.066876606\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022081 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, C"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -3.326128725870005e+62) (- (+ (/ y (* x x)) (* 4.16438922228 x)) 110.1139242984811) (if (< x 9.429991714554673e+55) (* (/ (- x 2.0) 1.0) (/ (+ (* (+ (* (+ (* (+ (* x 4.16438922228) 78.6994924154) x) 137.519416416) x) y) x) z) (+ (* (+ (+ (* 263.505074721 x) (+ (* 43.3400022514 (* x x)) (* x (* x x)))) 313.399215894) x) 47.066876606))) (- (+ (/ y (* x x)) (* 4.16438922228 x)) 110.1139242984811)))

  (/ (* (- x 2.0) (+ (* (+ (* (+ (* (+ (* x 4.16438922228) 78.6994924154) x) 137.519416416) x) y) x) z)) (+ (* (+ (* (+ (* (+ x 43.3400022514) x) 263.505074721) x) 313.399215894) x) 47.066876606)))