Average Error: 0.5 → 0.4
Time: 18.4s
Precision: binary64
\[\frac{2 + \left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right)\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right)}{3 \cdot \left(\left(1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot \cos x\right) + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \cdot \cos y\right)} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\sin y}{16}\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(\sin x \cdot \sin x - t_0 \cdot t_0\right)}{\sin x + t_0} \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{1}{\sqrt{0.6666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{0.6666666666666666}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \frac{4}{\sqrt{5} + 3}, 3\right)\right)} \end{array} \]
\frac{2 + \left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right)\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right)}{3 \cdot \left(\left(1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot \cos x\right) + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \cdot \cos y\right)}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \frac{\sin y}{16}\\
\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(\sin x \cdot \sin x - t_0 \cdot t_0\right)}{\sin x + t_0} \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{1}{\sqrt{0.6666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{0.6666666666666666}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \frac{4}{\sqrt{5} + 3}, 3\right)\right)}
\end{array}

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (/
  (+
   2.0
   (*
    (*
     (* (sqrt 2.0) (- (sin x) (/ (sin y) 16.0)))
     (- (sin y) (/ (sin x) 16.0)))
    (- (cos x) (cos y))))
  (*
   3.0
   (+
    (+ 1.0 (* (/ (- (sqrt 5.0) 1.0) 2.0) (cos x)))
    (* (/ (- 3.0 (sqrt 5.0)) 2.0) (cos y))))))
↓
(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sin y) 16.0)))
   (/
    (fma
     (*
      (/ (* (sqrt 2.0) (- (* (sin x) (sin x)) (* t_0 t_0))) (+ (sin x) t_0))
      (- (sin y) (/ (sin x) 16.0)))
     (- (cos x) (cos y))
     2.0)
    (fma
     (cos x)
     (*
      (/ 1.0 (sqrt 0.6666666666666666))
      (/ (- (sqrt 5.0) 1.0) (sqrt 0.6666666666666666)))
     (fma (cos y) (* 1.5 (/ 4.0 (+ (sqrt 5.0) 3.0))) 3.0)))))
double code(double x, double y) {
	return (2.0 + (((sqrt(2.0) * (sin(x) - (sin(y) / 16.0))) * (sin(y) - (sin(x) / 16.0))) * (cos(x) - cos(y)))) / (3.0 * ((1.0 + (((sqrt(5.0) - 1.0) / 2.0) * cos(x))) + (((3.0 - sqrt(5.0)) / 2.0) * cos(y))));
}
↓
double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(y) / 16.0;
	return fma((((sqrt(2.0) * ((sin(x) * sin(x)) - (t_0 * t_0))) / (sin(x) + t_0)) * (sin(y) - (sin(x) / 16.0))), (cos(x) - cos(y)), 2.0) / fma(cos(x), ((1.0 / sqrt(0.6666666666666666)) * ((sqrt(5.0) - 1.0) / sqrt(0.6666666666666666))), fma(cos(y), (1.5 * (4.0 / (sqrt(5.0) + 3.0))), 3.0));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Derivation

  1. Initial program 0.5

    \[\frac{2 + \left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right)\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right)}{3 \cdot \left(\left(1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot \cos x\right) + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \cdot \cos y\right)} \]

  2. Simplified0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{\sqrt{5} - 1}{0.6666666666666666}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \left(3 - \sqrt{5}\right), 3\right)\right)}} \]

  3. Applied add-sqr-sqrt_binary640.4

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{\sqrt{5} - 1}{\color{blue}{\sqrt{0.6666666666666666} \cdot \sqrt{0.6666666666666666}}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \left(3 - \sqrt{5}\right), 3\right)\right)} \]

  4. Applied *-un-lft-identity_binary640.4

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{5} - 1\right)}}{\sqrt{0.6666666666666666} \cdot \sqrt{0.6666666666666666}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \left(3 - \sqrt{5}\right), 3\right)\right)} \]

  5. Applied times-frac_binary640.4

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{0.6666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{0.6666666666666666}}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \left(3 - \sqrt{5}\right), 3\right)\right)} \]

  6. Applied flip--_binary640.5

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{1}{\sqrt{0.6666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{0.6666666666666666}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \color{blue}{\frac{3 \cdot 3 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}}, 3\right)\right)} \]

  7. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{1}{\sqrt{0.6666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{0.6666666666666666}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \frac{\color{blue}{4}}{3 + \sqrt{5}}, 3\right)\right)} \]

  8. Applied flip--_binary640.4

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sin x - \frac{\sin y}{16} \cdot \frac{\sin y}{16}}{\sin x + \frac{\sin y}{16}}}\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{1}{\sqrt{0.6666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{0.6666666666666666}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \frac{4}{3 + \sqrt{5}}, 3\right)\right)} \]

  9. Applied associate-*r/_binary640.4

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\sqrt{2} \cdot \left(\sin x \cdot \sin x - \frac{\sin y}{16} \cdot \frac{\sin y}{16}\right)}{\sin x + \frac{\sin y}{16}}} \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{1}{\sqrt{0.6666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{0.6666666666666666}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \frac{4}{3 + \sqrt{5}}, 3\right)\right)} \]

  10. Final simplification0.4

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(\sin x \cdot \sin x - \frac{\sin y}{16} \cdot \frac{\sin y}{16}\right)}{\sin x + \frac{\sin y}{16}} \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right), \cos x - \cos y, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos x, \frac{1}{\sqrt{0.6666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{0.6666666666666666}}, \mathsf{fma}\left(\cos y, 1.5 \cdot \frac{4}{\sqrt{5} + 3}, 3\right)\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022077 
(FPCore (x y)
  :name "Diagrams.TwoD.Path.Metafont.Internal:hobbyF from diagrams-contrib-1.3.0.5"
  :precision binary64
  (/ (+ 2.0 (* (* (* (sqrt 2.0) (- (sin x) (/ (sin y) 16.0))) (- (sin y) (/ (sin x) 16.0))) (- (cos x) (cos y)))) (* 3.0 (+ (+ 1.0 (* (/ (- (sqrt 5.0) 1.0) 2.0) (cos x))) (* (/ (- 3.0 (sqrt 5.0)) 2.0) (cos y))))))