Average Error: 1.3 → 1.1
Time: 6.7s
Precision: binary32
\[\left(0 \leq s \land s \leq 256\right) \land \left(0.25 \leq u \land u \leq 1\right)\]
\[\left(3 \cdot s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{1 - \frac{u - 0.25}{0.75}}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\\ s \cdot \sqrt[3]{\left(\left(t_0 \cdot t_0\right) \cdot \log \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)} - 1\right)\right) \cdot -27} \end{array} \]
\left(3 \cdot s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{1 - \frac{u - 0.25}{0.75}}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\\
s \cdot \sqrt[3]{\left(\left(t_0 \cdot t_0\right) \cdot \log \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)} - 1\right)\right) \cdot -27}
\end{array}

(FPCore (s u)
 :precision binary32
 (* (* 3.0 s) (log (/ 1.0 (- 1.0 (/ (- u 0.25) 0.75))))))
↓
(FPCore (s u)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (log (fma u -1.3333333333333333 1.3333333333333333))))
   (*
    s
    (cbrt
     (*
      (*
       (* t_0 t_0)
       (log
        (- (exp (log1p (fma u -1.3333333333333333 1.3333333333333333))) 1.0)))
      -27.0)))))
float code(float s, float u) {
	return (3.0f * s) * logf(1.0f / (1.0f - ((u - 0.25f) / 0.75f)));
}
↓
float code(float s, float u) {
	float t_0 = logf(fmaf(u, -1.3333333333333333f, 1.3333333333333333f));
	return s * cbrtf(((t_0 * t_0) * logf(expf(log1pf(fmaf(u, -1.3333333333333333f, 1.3333333333333333f))) - 1.0f)) * -27.0f);
}

Error

Bits error versus s

Bits error versus u

Derivation

  1. Initial program 1.3

    \[\left(3 \cdot s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{1 - \frac{u - 0.25}{0.75}}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{s \cdot \left(\log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right) \cdot -3\right)} \]

  3. Applied add-cbrt-cube_binary321.0

    \[\leadsto s \cdot \left(\log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(-3 \cdot -3\right) \cdot -3}}\right) \]

  4. Applied add-cbrt-cube_binary321.0

    \[\leadsto s \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(-3 \cdot -3\right) \cdot -3}\right) \]

  5. Applied cbrt-unprod_binary321.0

    \[\leadsto s \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-3 \cdot -3\right) \cdot -3\right)}} \]

  6. Applied expm1-log1p-u_binary321.1

    \[\leadsto s \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(-3 \cdot -3\right) \cdot -3\right)} \]

  7. Applied expm1-udef_binary321.1

    \[\leadsto s \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \log \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)} - 1\right)}\right) \cdot \left(\left(-3 \cdot -3\right) \cdot -3\right)} \]

  8. Final simplification1.1

    \[\leadsto s \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \log \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(u, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)\right)} - 1\right)\right) \cdot -27} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022077 
(FPCore (s u)
  :name "Disney BSSRDF, sample scattering profile, upper"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0 s) (<= s 256.0)) (and (<= 0.25 u) (<= u 1.0)))
  (* (* 3.0 s) (log (/ 1.0 (- 1.0 (/ (- u 0.25) 0.75))))))