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Precision: binary64
\[[y, z] = \mathsf{sort}([y, z]) \[j, k] = \mathsf{sort}([j, k]) \\]
\[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]
↓
\[\begin{array}{l} t_1 := \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)\\ t_2 := t \cdot \left(a \cdot 4\right)\\ t_3 := \left(x \cdot 4\right) \cdot i\\ t_4 := \left(j \cdot 27\right) \cdot k\\ t_5 := \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - t_2\right) + b \cdot c\right) - t_3\right) - t_4\\ \mathbf{if}\;t_5 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;t_5 \leq 4.7166012695043865 \cdot 10^{+285}:\\ \;\;\;\;\left(\left(b \cdot c + \left(t \cdot \left(z \cdot \left(18 \cdot \left(x \cdot y\right)\right)\right) - t_2\right)\right) - t_3\right) - t_4\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]
\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k
↓
\begin{array}{l}
t_1 := \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)\\
t_2 := t \cdot \left(a \cdot 4\right)\\
t_3 := \left(x \cdot 4\right) \cdot i\\
t_4 := \left(j \cdot 27\right) \cdot k\\
t_5 := \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - t_2\right) + b \cdot c\right) - t_3\right) - t_4\\
\mathbf{if}\;t_5 \leq -\infty:\\
\;\;\;\;t_1\\

\mathbf{elif}\;t_5 \leq 4.7166012695043865 \cdot 10^{+285}:\\
\;\;\;\;\left(\left(b \cdot c + \left(t \cdot \left(z \cdot \left(18 \cdot \left(x \cdot y\right)\right)\right) - t_2\right)\right) - t_3\right) - t_4\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;t_1\\


\end{array}

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (-
  (-
   (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c))
   (* (* x 4.0) i))
  (* (* j 27.0) k)))
↓
(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (let* ((t_1
         (fma
          x
          (fma 18.0 (* y (* z t)) (* i -4.0))
          (fma a (* t -4.0) (fma -27.0 (* j k) (* b c)))))
        (t_2 (* t (* a 4.0)))
        (t_3 (* (* x 4.0) i))
        (t_4 (* (* j 27.0) k))
        (t_5 (- (- (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) t_2) (* b c)) t_3) t_4)))
   (if (<= t_5 (- INFINITY))
     t_1
     (if (<= t_5 4.7166012695043865e+285)
       (- (- (+ (* b c) (- (* t (* z (* 18.0 (* x y)))) t_2)) t_3) t_4)
       t_1))))
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	return (((((((x * 18.0) * y) * z) * t) - ((a * 4.0) * t)) + (b * c)) - ((x * 4.0) * i)) - ((j * 27.0) * k);
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	double t_1 = fma(x, fma(18.0, (y * (z * t)), (i * -4.0)), fma(a, (t * -4.0), fma(-27.0, (j * k), (b * c))));
	double t_2 = t * (a * 4.0);
	double t_3 = (x * 4.0) * i;
	double t_4 = (j * 27.0) * k;
	double t_5 = (((((((x * 18.0) * y) * z) * t) - t_2) + (b * c)) - t_3) - t_4;
	double tmp;
	if (t_5 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_1;
	} else if (t_5 <= 4.7166012695043865e+285) {
		tmp = (((b * c) + ((t * (z * (18.0 * (x * y)))) - t_2)) - t_3) - t_4;
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Bits error versus k

Target

Original5.8
Target1.7
Herbie1.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -1.6210815397541398 \cdot 10^{-69}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \mathbf{elif}\;t < 165.68027943805222:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot \left(z \cdot t\right)\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) + \left(c \cdot b - 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (-.f64 (-.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 x 18) y) z) t) (*.f64 (*.f64 a 4) t)) (*.f64 b c)) (*.f64 (*.f64 x 4) i)) (*.f64 (*.f64 j 27) k)) < -inf.0 or 4.71660126950438648e285 < (-.f64 (-.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 x 18) y) z) t) (*.f64 (*.f64 a 4) t)) (*.f64 b c)) (*.f64 (*.f64 x 4) i)) (*.f64 (*.f64 j 27) k))

    1. Initial program 41.3

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

    2. Simplified6.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)} \]

    if -inf.0 < (-.f64 (-.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 x 18) y) z) t) (*.f64 (*.f64 a 4) t)) (*.f64 b c)) (*.f64 (*.f64 x 4) i)) (*.f64 (*.f64 j 27) k)) < 4.71660126950438648e285

    1. Initial program 0.3

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

    2. Taylor expanded in x around 0 0.3

      \[\leadsto \left(\left(\left(\left(\color{blue}{\left(18 \cdot \left(y \cdot x\right)\right)} \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification1.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - t \cdot \left(a \cdot 4\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - t \cdot \left(a \cdot 4\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \leq 4.7166012695043865 \cdot 10^{+285}:\\ \;\;\;\;\left(\left(b \cdot c + \left(t \cdot \left(z \cdot \left(18 \cdot \left(x \cdot y\right)\right)\right) - t \cdot \left(a \cdot 4\right)\right)\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022077 
(FPCore (x y z t a b c i j k)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, E"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -1.6210815397541398e-69) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b))) (if (< t 165.68027943805222) (+ (- (* (* 18.0 y) (* x (* z t))) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* c b) (* 27.0 (* k j)))) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b)))))

  (- (- (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c)) (* (* x 4.0) i)) (* (* j 27.0) k)))