Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2

Average Error: 29.5 → 11.2

Time: 1.0min

Precision: binary64

Math

\[\frac{\left(\left(\left(x \cdot y + z\right) \cdot y + 27464.7644705\right) \cdot y + 230661.510616\right) \cdot y + t}{\left(\left(\left(y + a\right) \cdot y + b\right) \cdot y + c\right) \cdot y + i} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := \left(\frac{z}{y} + x\right) - \frac{x \cdot a}{y}\\ \mathbf{if}\;y \leq -1.7184192923199055 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;y \leq 2.10858943953574 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right), t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i)
 :precision binary64
 (/
  (+ (* (+ (* (+ (* (+ (* x y) z) y) 27464.7644705) y) 230661.510616) y) t)
  (+ (* (+ (* (+ (* (+ y a) y) b) y) c) y) i)))

↓

(FPCore (x y z t a b c i)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (+ (/ z y) x) (/ (* x a) y))))
   (if (<= y -1.7184192923199055e+54)
     t_1
     (if (<= y 2.10858943953574e+48)
       (/
        (fma y (fma y (fma y (fma x y z) 27464.7644705) 230661.510616) t)
        (fma y (fma y (fma y (+ y a) b) c) i))
       t_1))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i) {
	return ((((((((x * y) + z) * y) + 27464.7644705) * y) + 230661.510616) * y) + t) / (((((((y + a) * y) + b) * y) + c) * y) + i);
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i) {
	double t_1 = ((z / y) + x) - ((x * a) / y);
	double tmp;
	if (y <= -1.7184192923199055e+54) {
		tmp = t_1;
	} else if (y <= 2.10858943953574e+48) {
		tmp = fma(y, fma(y, fma(y, fma(x, y, z), 27464.7644705), 230661.510616), t) / fma(y, fma(y, fma(y, (y + a), b), c), i);
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < -1.71841929231990548e54 or 2.10858943953574004e48 < y

   1. Initial program 62.4

      \[\frac{\left(\left(\left(x \cdot y + z\right) \cdot y + 27464.7644705\right) \cdot y + 230661.510616\right) \cdot y + t}{\left(\left(\left(y + a\right) \cdot y + b\right) \cdot y + c\right) \cdot y + i} \]

   2. Simplified 62.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right), t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)}} \]

   3. Taylor expanded in y around inf 20.5

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{z}{y} + x\right) - \frac{a \cdot x}{y}} \]

   if -1.71841929231990548e54 < y < 2.10858943953574004e48

   1. Initial program 4.1

      \[\frac{\left(\left(\left(x \cdot y + z\right) \cdot y + 27464.7644705\right) \cdot y + 230661.510616\right) \cdot y + t}{\left(\left(\left(y + a\right) \cdot y + b\right) \cdot y + c\right) \cdot y + i} \]

   2. Simplified 4.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right), t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)}} \]

   3. Applied add-cube-cbrt_binary64 4.2

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)}}, t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)} \]

   4. Applied pow1/3_binary64 12.6

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y, \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{0.3333333333333333}}, t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)} \]

   5. Applied pow1/3_binary64 12.7

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y, \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)} \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{0.3333333333333333}}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{0.3333333333333333}, t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)} \]

   6. Applied pow1/3_binary64 12.8

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y, \left(\color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{0.3333333333333333}, t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)} \]

   7. Applied pow-sqr_binary64 12.8

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{0.3333333333333333}, t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)} \]

   8. Applied pow-prod-up_binary64 4.1

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right)\right)}^{\left(2 \cdot 0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}}, t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 11.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -1.7184192923199055 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{z}{y} + x\right) - \frac{x \cdot a}{y}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 2.10858943953574 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(x, y, z\right), 27464.7644705\right), 230661.510616\right), t\right)}{\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{fma}\left(y, y + a, b\right), c\right), i\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{z}{y} + x\right) - \frac{x \cdot a}{y}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022077 
(FPCore (x y z t a b c i)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2"
  :precision binary64
  (/ (+ (* (+ (* (+ (* (+ (* x y) z) y) 27464.7644705) y) 230661.510616) y) t) (+ (* (+ (* (+ (* (+ y a) y) b) y) c) y) i)))