Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3

Average Error: 11.9 → 3.5

Time: 21.2s

Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := \left(a \cdot \left(b \cdot i\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(a \cdot \left(x \cdot t\right) + c \cdot \left(z \cdot b\right)\right)\right)\\ t_2 := y \cdot z - t \cdot a\\ t_3 := \left(x \cdot t_2 - b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\\ \mathbf{if}\;t_3 \leq -9.525181123853243 \cdot 10^{+300}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;t_3 \leq 1.7723602982057367 \cdot 10^{+296}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, t_2, j \cdot \mathsf{fma}\left(t, c, -y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, y \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (+
  (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a))))
  (* j (- (* c t) (* i y)))))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (let* ((t_1
         (-
          (+ (* a (* b i)) (+ (* c (* t j)) (* y (* x z))))
          (+ (* i (* y j)) (+ (* a (* x t)) (* c (* z b))))))
        (t_2 (- (* y z) (* t a)))
        (t_3
         (+
          (- (* x t_2) (* b (- (* z c) (* a i))))
          (* j (- (* t c) (* y i))))))
   (if (<= t_3 -9.525181123853243e+300)
     t_1
     (if (<= t_3 1.7723602982057367e+296)
       (fma
        b
        (- (* a i) (* z c))
        (fma
         x
         t_2
         (+ (* j (fma t c (- (* y i)))) (* j (fma (- i) y (* y i))))))
       t_1))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return ((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (i * a)))) + (j * ((c * t) - (i * y)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double t_1 = ((a * (b * i)) + ((c * (t * j)) + (y * (x * z)))) - ((i * (y * j)) + ((a * (x * t)) + (c * (z * b))));
	double t_2 = (y * z) - (t * a);
	double t_3 = ((x * t_2) - (b * ((z * c) - (a * i)))) + (j * ((t * c) - (y * i)));
	double tmp;
	if (t_3 <= -9.525181123853243e+300) {
		tmp = t_1;
	} else if (t_3 <= 1.7723602982057367e+296) {
		tmp = fma(b, ((a * i) - (z * c)), fma(x, t_2, ((j * fma(t, c, -(y * i))) + (j * fma(-i, y, (y * i))))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	11.9
Target	15.5
Herbie	3.5

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -8.120978919195912 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t < -4.712553818218485 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{elif}\;t < -7.633533346031584 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t < 1.0535888557455487 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 i a)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c t) (*.f64 i y)))) < -9.5251811238532428e300 or 1.7723602982057367e296 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 i a)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c t) (*.f64 i y))))

   1. Initial program 55.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 55.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in a around 0 14.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot \left(i \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(a \cdot \left(t \cdot x\right) + c \cdot \left(z \cdot b\right)\right)\right)} \]

   if -9.5251811238532428e300 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 i a)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c t) (*.f64 i y)))) < 1.7723602982057367e296

   1. Initial program 0.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 0.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Applied prod-diff_binary64 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(t, c, -i \cdot y\right) + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)}\right)\right) \]

   4. Applied distribute-rgt-in_binary64 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(t, c, -i \cdot y\right) \cdot j + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right) \cdot j}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 3.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right) \leq -9.525181123853243 \cdot 10^{+300}:\\ \;\;\;\;\left(a \cdot \left(b \cdot i\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(a \cdot \left(x \cdot t\right) + c \cdot \left(z \cdot b\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right) \leq 1.7723602982057367 \cdot 10^{+296}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \mathsf{fma}\left(t, c, -y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, y \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(a \cdot \left(b \cdot i\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(a \cdot \left(x \cdot t\right) + c \cdot \left(z \cdot b\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022077 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -8.120978919195912e-33) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t -4.712553818218485e-169) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2.0) (pow (* i y) 2.0))) (+ (* c t) (* i y)))) (if (< t -7.633533346031584e-308) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t 1.0535888557455487e-139) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2.0) (pow (* i y) 2.0))) (+ (* c t) (* i y)))) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j)))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (* j (- (* c t) (* i y)))))