Average Error: 13.6 → 0.3
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Precision: binary32
\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]
\[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
↓
\[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot {\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}^{0.5} \]
\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}
↓
\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot {\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}^{0.5}

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))
↓
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (pow
   (-
    (* 2.0 (fma maxCos (* ux ux) ux))
    (fma ux ux (* (* maxCos ux) (+ 2.0 (* maxCos ux)))))
   0.5)))
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos))));
}
↓
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * powf(((2.0f * fmaf(maxCos, (ux * ux), ux)) - fmaf(ux, ux, ((maxCos * ux) * (2.0f + (maxCos * ux))))), 0.5f);
}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

Derivation

  1. Initial program 13.6

    \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

  2. Taylor expanded in ux around 0 0.3

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)}} \]

  4. Applied pow1_binary320.3

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)\right)}^{1}}} \]

  5. Applied sqrt-pow1_binary320.3

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux + 2\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}} \]

  6. Final simplification0.3

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot {\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}^{0.5} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022072 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))