Hyperbolic arcsine

Average Error: 53.2 → 0.2

Time: 8.8s

Precision: binary64

Math

\[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.1236408870514942:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{0.125}{{x}^{3}} + \frac{-0.5}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.022501888022473358:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)\\ \frac{t_0 + t_1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.044642857142857144, {x}^{7}, t_0\right)\right)}{t_0 - t_1}} \end{array}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (+ x (sqrt (+ (* x x) 1.0)))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.1236408870514942)
   (log (+ (/ 0.125 (pow x 3.0)) (/ -0.5 x)))
   (if (<= x 0.022501888022473358)
     (let* ((t_0 (fma 0.075 (pow x 5.0) x))
            (t_1
             (fma
              0.16666666666666666
              (pow x 3.0)
              (* 0.044642857142857144 (pow x 7.0)))))
       (/
        (+ t_0 t_1)
        (/
         (fma
          0.16666666666666666
          (pow x 3.0)
          (fma 0.044642857142857144 (pow x 7.0) t_0))
         (- t_0 t_1))))
     (log (+ x (hypot 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return log(x + sqrt((x * x) + 1.0));
}

↓

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.1236408870514942) {
		tmp = log((0.125 / pow(x, 3.0)) + (-0.5 / x));
	} else if (x <= 0.022501888022473358) {
		double t_0 = fma(0.075, pow(x, 5.0), x);
		double t_1 = fma(0.16666666666666666, pow(x, 3.0), (0.044642857142857144 * pow(x, 7.0)));
		tmp = (t_0 + t_1) / (fma(0.16666666666666666, pow(x, 3.0), fma(0.044642857142857144, pow(x, 7.0), t_0)) / (t_0 - t_1));
	} else {
		tmp = log(x + hypot(1.0, x));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Target

Original	53.2
Target	45.4
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < 0:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{-1}{x - \sqrt{x \cdot x + 1}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.12364088705149423

   1. Initial program 62.9

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]

   2. Simplified 62.9

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around -inf 0.3

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.125 \cdot \frac{1}{{x}^{3}} - 0.5 \cdot \frac{1}{x}\right)} \]

   4. Simplified 0.3

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{0.125}{{x}^{3}} + \frac{-0.5}{x}\right)} \]

   if -1.12364088705149423 < x < 0.0225018880224733576

   1. Initial program 58.6

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]

   2. Simplified 58.6

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.075 \cdot {x}^{5} + x\right) - \left(0.044642857142857144 \cdot {x}^{7} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   4. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)} \]

   5. Applied flip--_binary64 29.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}} \]

   6. Applied difference-of-squares_binary64 29.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)} \]

   7. Applied associate-/l*_binary64 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}}} \]

   8. Simplified 0.1

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.044642857142857144, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}}} \]

   if 0.0225018880224733576 < x

   1. Initial program 31.8

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.1236408870514942:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{0.125}{{x}^{3}} + \frac{-0.5}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.022501888022473358:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.044642857142857144, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.075, {x}^{5}, x\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{3}, 0.044642857142857144 \cdot {x}^{7}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic arcsine"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x 0.0) (log (/ -1.0 (- x (sqrt (+ (* x x) 1.0))))) (log (+ x (sqrt (+ (* x x) 1.0)))))

  (log (+ x (sqrt (+ (* x x) 1.0)))))