Compound Interest

Average Error: 46.2 → 11.2

Time: 21.4s

Precision: binary64

Math

\[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;i \leq -2.6516593092203356 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;n \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(100, e^{n \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{i}{n}\right)}, -100\right)}{i}\\ \mathbf{elif}\;i \leq 3.182613501787643 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(16.666666666666668, n \cdot \left(i \cdot i\right), \mathsf{fma}\left(100, n, \mathsf{fma}\left(33.333333333333336, \frac{i \cdot i}{n}, 50 \cdot \left(i \cdot n\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(i, i, i\right) \cdot -50\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({\left(e^{n}\right)}^{\left(100 + i \cdot \mathsf{fma}\left(i, 16.666666666666668, 50\right)\right)}\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (i n)
 :precision binary64
 (* 100.0 (/ (- (pow (+ 1.0 (/ i n)) n) 1.0) (/ i n))))

↓

(FPCore (i n)
 :precision binary64
 (if (<= i -2.6516593092203356e-10)
   (* n (/ (fma 100.0 (exp (* n (log1p (/ i n)))) -100.0) i))
   (if (<= i 3.182613501787643e-5)
     (+
      (fma
       16.666666666666668
       (* n (* i i))
       (fma 100.0 n (fma 33.333333333333336 (/ (* i i) n) (* 50.0 (* i n)))))
      (* (fma i i i) -50.0))
     (log (pow (exp n) (+ 100.0 (* i (fma i 16.666666666666668 50.0))))))))

C

double code(double i, double n) {
	return 100.0 * ((pow((1.0 + (i / n)), n) - 1.0) / (i / n));
}

↓

double code(double i, double n) {
	double tmp;
	if (i <= -2.6516593092203356e-10) {
		tmp = n * (fma(100.0, exp(n * log1p(i / n)), -100.0) / i);
	} else if (i <= 3.182613501787643e-5) {
		tmp = fma(16.666666666666668, (n * (i * i)), fma(100.0, n, fma(33.333333333333336, ((i * i) / n), (50.0 * (i * n))))) + (fma(i, i, i) * -50.0);
	} else {
		tmp = log(pow(exp(n), (100.0 + (i * fma(i, 16.666666666666668, 50.0)))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus i

Bits error versus n

Target

Original	46.2
Target	42.2
Herbie	11.2

\[100 \cdot \frac{e^{n \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + \frac{i}{n} = 1:\\ \;\;\;\;\frac{i}{n}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{i}{n} \cdot \log \left(1 + \frac{i}{n}\right)}{\left(\frac{i}{n} + 1\right) - 1}\\ \end{array}} - 1}{\frac{i}{n}} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if i < -2.65165930922033559e-10

   1. Initial program 28.5

      \[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}} \]

   2. Simplified 28.9

      \[\leadsto \color{blue}{n \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(100, {\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n}, -100\right)}{i}} \]

   3. Applied pow-to-exp_binary64 30.6

      \[\leadsto n \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(100, \color{blue}{e^{\log \left(1 + \frac{i}{n}\right) \cdot n}}, -100\right)}{i} \]

   4. Simplified 9.0

      \[\leadsto n \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(100, e^{\color{blue}{n \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{i}{n}\right)}}, -100\right)}{i} \]

   if -2.65165930922033559e-10 < i < 3.1826135017876433e-5

   1. Initial program 58.1

      \[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}} \]

   2. Simplified 57.8

      \[\leadsto \color{blue}{n \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(100, {\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n}, -100\right)}{i}} \]

   3. Taylor expanded in i around 0 9.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(16.666666666666668 \cdot \left(n \cdot {i}^{2}\right) + \left(100 \cdot n + \left(33.333333333333336 \cdot \frac{{i}^{2}}{n} + 50 \cdot \left(n \cdot i\right)\right)\right)\right) - \left(50 \cdot i + 50 \cdot {i}^{2}\right)} \]

   4. Simplified 9.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(16.666666666666668, \left(i \cdot i\right) \cdot n, \mathsf{fma}\left(100, n, \mathsf{fma}\left(33.333333333333336, \frac{i \cdot i}{n}, 50 \cdot \left(i \cdot n\right)\right)\right)\right) - 50 \cdot \left(i + i \cdot i\right)} \]

   5. Applied sub-neg_binary64 9.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(16.666666666666668, \left(i \cdot i\right) \cdot n, \mathsf{fma}\left(100, n, \mathsf{fma}\left(33.333333333333336, \frac{i \cdot i}{n}, 50 \cdot \left(i \cdot n\right)\right)\right)\right) + \left(-50 \cdot \left(i + i \cdot i\right)\right)} \]

   6. Simplified 9.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(16.666666666666668, \left(i \cdot i\right) \cdot n, \mathsf{fma}\left(100, n, \mathsf{fma}\left(33.333333333333336, \frac{i \cdot i}{n}, 50 \cdot \left(i \cdot n\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(i, i, i\right) \cdot -50} \]

   if 3.1826135017876433e-5 < i

   1. Initial program 34.2

      \[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}} \]

   2. Simplified 34.0

      \[\leadsto \color{blue}{n \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(100, {\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n}, -100\right)}{i}} \]

   3. Taylor expanded in i around 0 51.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(16.666666666666668 \cdot \left(n \cdot {i}^{2}\right) + \left(100 \cdot n + \left(33.333333333333336 \cdot \frac{{i}^{2}}{n} + 50 \cdot \left(n \cdot i\right)\right)\right)\right) - \left(50 \cdot i + 50 \cdot {i}^{2}\right)} \]

   4. Simplified 51.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(16.666666666666668, \left(i \cdot i\right) \cdot n, \mathsf{fma}\left(100, n, \mathsf{fma}\left(33.333333333333336, \frac{i \cdot i}{n}, 50 \cdot \left(i \cdot n\right)\right)\right)\right) - 50 \cdot \left(i + i \cdot i\right)} \]

   5. Taylor expanded in n around inf 40.3

      \[\leadsto \color{blue}{n \cdot \left(100 + \left(50 \cdot i + 16.666666666666668 \cdot {i}^{2}\right)\right)} \]

   6. Applied add-log-exp_binary64 29.0

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(e^{n \cdot \left(100 + \left(50 \cdot i + 16.666666666666668 \cdot {i}^{2}\right)\right)}\right)} \]

   7. Simplified 17.1

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(e^{n}\right)}^{\left(100 + i \cdot \mathsf{fma}\left(i, 16.666666666666668, 50\right)\right)}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 11.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;i \leq -2.6516593092203356 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;n \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(100, e^{n \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{i}{n}\right)}, -100\right)}{i}\\ \mathbf{elif}\;i \leq 3.182613501787643 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(16.666666666666668, n \cdot \left(i \cdot i\right), \mathsf{fma}\left(100, n, \mathsf{fma}\left(33.333333333333336, \frac{i \cdot i}{n}, 50 \cdot \left(i \cdot n\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(i, i, i\right) \cdot -50\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({\left(e^{n}\right)}^{\left(100 + i \cdot \mathsf{fma}\left(i, 16.666666666666668, 50\right)\right)}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (i n)
  :name "Compound Interest"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 100.0 (/ (- (exp (* n (if (== (+ 1.0 (/ i n)) 1.0) (/ i n) (/ (* (/ i n) (log (+ 1.0 (/ i n)))) (- (+ (/ i n) 1.0) 1.0))))) 1.0) (/ i n)))

  (* 100.0 (/ (- (pow (+ 1.0 (/ i n)) n) 1.0) (/ i n))))