Average Error: 18.9 → 16.1
Time: 28.5s
Precision: binary64
\[x1 + \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(2 \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) \cdot \left(\frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot \left(4 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 6\right)\right) \cdot \left(x1 \cdot x1 + 1\right) + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + x1\right) + 3 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)}\\ t_1 := {x1}^{2} + 1\\ x1 + \mathsf{fma}\left(3, 3 \cdot \frac{{x1}^{2}}{t_1} - \left(2 \cdot \frac{x2}{t_1} + \frac{x1}{t_1}\right), \mathsf{fma}\left(x1, 3 \cdot \left(x1 \cdot t_0\right), \mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right) \cdot \left(x1 + \left(t_0 \cdot \left(\left(x1 + x1\right) \cdot \left(t_0 - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot 4\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot -6\right)\right)\right)\right) \end{array} \]
x1 + \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(2 \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) \cdot \left(\frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot \left(4 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 6\right)\right) \cdot \left(x1 \cdot x1 + 1\right) + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + x1\right) + 3 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)}\\
t_1 := {x1}^{2} + 1\\
x1 + \mathsf{fma}\left(3, 3 \cdot \frac{{x1}^{2}}{t_1} - \left(2 \cdot \frac{x2}{t_1} + \frac{x1}{t_1}\right), \mathsf{fma}\left(x1, 3 \cdot \left(x1 \cdot t_0\right), \mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right) \cdot \left(x1 + \left(t_0 \cdot \left(\left(x1 + x1\right) \cdot \left(t_0 - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot 4\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot -6\right)\right)\right)\right)
\end{array}

(FPCore (x1 x2)
 :precision binary64
 (+
  x1
  (+
   (+
    (+
     (+
      (*
       (+
        (*
         (*
          (* 2.0 x1)
          (/ (- (+ (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0)))
         (- (/ (- (+ (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0)) 3.0))
        (*
         (* x1 x1)
         (-
          (* 4.0 (/ (- (+ (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0)))
          6.0)))
       (+ (* x1 x1) 1.0))
      (*
       (* (* 3.0 x1) x1)
       (/ (- (+ (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0))))
     (* (* x1 x1) x1))
    x1)
   (* 3.0 (/ (- (- (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0))))))
↓
(FPCore (x1 x2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- (fma x1 (* x1 3.0) (* 2.0 x2)) x1) (fma x1 x1 1.0)))
        (t_1 (+ (pow x1 2.0) 1.0)))
   (+
    x1
    (fma
     3.0
     (- (* 3.0 (/ (pow x1 2.0) t_1)) (+ (* 2.0 (/ x2 t_1)) (/ x1 t_1)))
     (fma
      x1
      (* 3.0 (* x1 t_0))
      (*
       (fma x1 x1 1.0)
       (+
        x1
        (+
         (* t_0 (+ (* (+ x1 x1) (- t_0 3.0)) (* (* x1 x1) 4.0)))
         (* (* x1 x1) -6.0)))))))))
double code(double x1, double x2) {
	return x1 + (((((((((2.0 * x1) * (((((3.0 * x1) * x1) + (2.0 * x2)) - x1) / ((x1 * x1) + 1.0))) * ((((((3.0 * x1) * x1) + (2.0 * x2)) - x1) / ((x1 * x1) + 1.0)) - 3.0)) + ((x1 * x1) * ((4.0 * (((((3.0 * x1) * x1) + (2.0 * x2)) - x1) / ((x1 * x1) + 1.0))) - 6.0))) * ((x1 * x1) + 1.0)) + (((3.0 * x1) * x1) * (((((3.0 * x1) * x1) + (2.0 * x2)) - x1) / ((x1 * x1) + 1.0)))) + ((x1 * x1) * x1)) + x1) + (3.0 * (((((3.0 * x1) * x1) - (2.0 * x2)) - x1) / ((x1 * x1) + 1.0))));
}
↓
double code(double x1, double x2) {
	double t_0 = (fma(x1, (x1 * 3.0), (2.0 * x2)) - x1) / fma(x1, x1, 1.0);
	double t_1 = pow(x1, 2.0) + 1.0;
	return x1 + fma(3.0, ((3.0 * (pow(x1, 2.0) / t_1)) - ((2.0 * (x2 / t_1)) + (x1 / t_1))), fma(x1, (3.0 * (x1 * t_0)), (fma(x1, x1, 1.0) * (x1 + ((t_0 * (((x1 + x1) * (t_0 - 3.0)) + ((x1 * x1) * 4.0))) + ((x1 * x1) * -6.0))))));
}

Error

Bits error versus x1

Bits error versus x2

Derivation

  1. Initial program 18.9

    \[x1 + \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(2 \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) \cdot \left(\frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot \left(4 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 6\right)\right) \cdot \left(x1 \cdot x1 + 1\right) + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + x1\right) + 3 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) \]

  2. Simplified16.1

    \[\leadsto \color{blue}{x1 + \mathsf{fma}\left(3, \frac{x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - \mathsf{fma}\left(2, x2, x1\right)}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(x1, 3 \cdot \left(x1 \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right) \cdot \left(\left(\frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)} \cdot \left(\left(x1 + x1\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)} - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot 4\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot -6\right) + x1\right)\right)\right)} \]

  3. Taylor expanded in x2 around 0 16.1

    \[\leadsto x1 + \mathsf{fma}\left(3, \color{blue}{3 \cdot \frac{{x1}^{2}}{1 + {x1}^{2}} - \left(2 \cdot \frac{x2}{1 + {x1}^{2}} + \frac{x1}{1 + {x1}^{2}}\right)}, \mathsf{fma}\left(x1, 3 \cdot \left(x1 \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right) \cdot \left(\left(\frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)} \cdot \left(\left(x1 + x1\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)} - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot 4\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot -6\right) + x1\right)\right)\right) \]

  4. Final simplification16.1

    \[\leadsto x1 + \mathsf{fma}\left(3, 3 \cdot \frac{{x1}^{2}}{{x1}^{2} + 1} - \left(2 \cdot \frac{x2}{{x1}^{2} + 1} + \frac{x1}{{x1}^{2} + 1}\right), \mathsf{fma}\left(x1, 3 \cdot \left(x1 \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right) \cdot \left(x1 + \left(\frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)} \cdot \left(\left(x1 + x1\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{fma}\left(x1, x1 \cdot 3, 2 \cdot x2\right) - x1}{\mathsf{fma}\left(x1, x1, 1\right)} - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot 4\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot -6\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x1 x2)
  :name "Rosa's FloatVsDoubleBenchmark"
  :precision binary64
  (+ x1 (+ (+ (+ (+ (* (+ (* (* (* 2.0 x1) (/ (- (+ (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0))) (- (/ (- (+ (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0)) 3.0)) (* (* x1 x1) (- (* 4.0 (/ (- (+ (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0))) 6.0))) (+ (* x1 x1) 1.0)) (* (* (* 3.0 x1) x1) (/ (- (+ (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0)))) (* (* x1 x1) x1)) x1) (* 3.0 (/ (- (- (* (* 3.0 x1) x1) (* 2.0 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1.0))))))