Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, J

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Precision: binary64

\[[x, y] = \mathsf{sort}([x, y]) \\]

Math

\[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := \frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{-\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{-z}\right)}{c}\\ t_2 := \frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{if}\;t_2 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;t_2 \leq -5.233416136627369 \cdot 10^{-187}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;t_2 \leq 5.281179041791346 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;t_2 \leq 3.4253452334271085 \cdot 10^{+297}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(9, \frac{y}{c} \cdot \frac{x}{z}, \frac{\mathsf{fma}\left(t \cdot a, -4, \frac{b}{z}\right)}{c}\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)))

↓

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (/ (fma t (* a -4.0) (/ (- (fma x (* 9.0 y) b)) (- z))) c))
        (t_2 (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c))))
   (if (<= t_2 (- INFINITY))
     t_1
     (if (<= t_2 -5.233416136627369e-187)
       t_2
       (if (<= t_2 5.281179041791346e+51)
         t_1
         (if (<= t_2 3.4253452334271085e+297)
           t_2
           (fma 9.0 (* (/ y c) (/ x z)) (/ (fma (* t a) -4.0 (/ b z)) c))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	return ((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c);
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	double t_1 = fma(t, (a * -4.0), (-fma(x, (9.0 * y), b) / -z)) / c;
	double t_2 = ((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c);
	double tmp;
	if (t_2 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_1;
	} else if (t_2 <= -5.233416136627369e-187) {
		tmp = t_2;
	} else if (t_2 <= 5.281179041791346e+51) {
		tmp = t_1;
	} else if (t_2 <= 3.4253452334271085e+297) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = fma(9.0, ((y / c) * (x / z)), (fma((t * a), -4.0, (b / z)) / c));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Target

Original	13.1
Target	12.5
Herbie	6.0

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < -1.100156740804105 \cdot 10^{-171}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < 0:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z}}{c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < 1.1708877911747488 \cdot 10^{-53}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < 2.876823679546137 \cdot 10^{+130}:\\ \;\;\;\;\left(\left(9 \cdot \frac{y}{c}\right) \cdot \frac{x}{z} + \frac{b}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < 1.3838515042456319 \cdot 10^{+158}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(9 \cdot \left(\frac{y}{c \cdot z} \cdot x\right) + \frac{b}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c)) < -inf.0 or -5.23341613662736916e-187 < (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c)) < 5.28117904179134568e51

   1. Initial program 13.9

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]

   2. Simplified 3.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z}\right)}{c}} \]

   3. Applied frac-2neg_binary64 3.5

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \color{blue}{\frac{-\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{-z}}\right)}{c} \]

   if -inf.0 < (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c)) < -5.23341613662736916e-187 or 5.28117904179134568e51 < (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c)) < 3.4253452334271085e297

   1. Initial program 0.7

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]

   if 3.4253452334271085e297 < (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c))

   1. Initial program 24.6

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]

   2. Simplified 10.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z}\right)}{c}} \]

   3. Applied add-cube-cbrt_binary64 10.6

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z}\right)}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{c} \cdot \sqrt[3]{c}\right) \cdot \sqrt[3]{c}}} \]

   4. Applied associate-/r*_binary64 10.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z}\right)}{\sqrt[3]{c} \cdot \sqrt[3]{c}}}{\sqrt[3]{c}}} \]

   5. Taylor expanded in t around 0 22.7

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{b}{c \cdot z} + 9 \cdot \frac{y \cdot x}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}} \]

   6. Simplified 20.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(9, \frac{y \cdot x}{c \cdot z}, \frac{\mathsf{fma}\left(a \cdot t, -4, \frac{b}{z}\right)}{c}\right)} \]

   7. Applied times-frac_binary64 14.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(9, \color{blue}{\frac{y}{c} \cdot \frac{x}{z}}, \frac{\mathsf{fma}\left(a \cdot t, -4, \frac{b}{z}\right)}{c}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 6.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{-\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{-z}\right)}{c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \leq -5.233416136627369 \cdot 10^{-187}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \leq 5.281179041791346 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{-\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{-z}\right)}{c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \leq 3.4253452334271085 \cdot 10^{+297}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(9, \frac{y}{c} \cdot \frac{x}{z}, \frac{\mathsf{fma}\left(t \cdot a, -4, \frac{b}{z}\right)}{c}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x y z t a b c)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, J"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) -1.100156740804105e-171) (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* z 4.0) (* t a))) b) (* z c)) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) 0.0) (/ (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) z) c) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) 1.1708877911747488e-53) (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* z 4.0) (* t a))) b) (* z c)) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) 2.876823679546137e+130) (- (+ (* (* 9.0 (/ y c)) (/ x z)) (/ b (* c z))) (* 4.0 (/ (* a t) c))) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) 1.3838515042456319e+158) (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* z 4.0) (* t a))) b) (* z c)) (- (+ (* 9.0 (* (/ y (* c z)) x)) (/ b (* c z))) (* 4.0 (/ (* a t) c))))))))

  (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)))