Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3

Average Error: 17.1 → 18.0

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Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := y \cdot \left(z \cdot x - i \cdot j\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq -6.608093164997977 \cdot 10^{+234}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_2 := i \cdot a - z \cdot c\\ t_3 := y \cdot \left(i \cdot j\right)\\ t_4 := a \cdot \left(x \cdot t\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq -1.2834941009206854 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t_2, y \cdot \left(z \cdot x\right) - \left(t_3 + t_4\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_5 := b \cdot a - y \cdot j\\ t_6 := c \cdot \left(j \cdot t\right)\\ t_7 := c \cdot \left(z \cdot b\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq -7.863566089797894 \cdot 10^{-220}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(i, t_5, \mathsf{fma}\left(y, z \cdot x, t_6\right)\right) - t_7\right) - t_4\\ \mathbf{elif}\;y \leq -4.027453351852585 \cdot 10^{-260}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t_2, -i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 5.140500729646445 \cdot 10^{-265}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c, j \cdot t, z \cdot \left(y \cdot x - b \cdot c\right) - t_4\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 7.840253637968856 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t_2, t_6 - t_3\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 9.482709923452732 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t_2, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - a \cdot t, j \cdot \left(c \cdot t - y \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 7.559661804942138 \cdot 10^{+112}:\\ \;\;\;\;\left(t_6 + i \cdot t_5\right) - \left(t_4 + t_7\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array}\\ \end{array}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (+
  (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a))))
  (* j (- (* c t) (* i y)))))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* y (- (* z x) (* i j)))))
   (if (<= y -6.608093164997977e+234)
     t_1
     (let* ((t_2 (- (* i a) (* z c))) (t_3 (* y (* i j))) (t_4 (* a (* x t))))
       (if (<= y -1.2834941009206854e+111)
         (fma b t_2 (- (* y (* z x)) (+ t_3 t_4)))
         (let* ((t_5 (- (* b a) (* y j)))
                (t_6 (* c (* j t)))
                (t_7 (* c (* z b))))
           (if (<= y -7.863566089797894e-220)
             (- (- (fma i t_5 (fma y (* z x) t_6)) t_7) t_4)
             (if (<= y -4.027453351852585e-260)
               (fma b t_2 (- (* i (* y j))))
               (if (<= y 5.140500729646445e-265)
                 (fma c (* j t) (- (* z (- (* y x) (* b c))) t_4))
                 (if (<= y 7.840253637968856e-120)
                   (fma b t_2 (- t_6 t_3))
                   (if (<= y 9.482709923452732e+50)
                     (fma
                      b
                      t_2
                      (fma x (- (* y z) (* a t)) (* j (- (* c t) (* y i)))))
                     (if (<= y 7.559661804942138e+112)
                       (- (+ t_6 (* i t_5)) (+ t_4 t_7))
                       t_1))))))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return ((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (i * a)))) + (j * ((c * t) - (i * y)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double t_1 = y * ((z * x) - (i * j));
	double tmp;
	if (y <= -6.608093164997977e+234) {
		tmp = t_1;
	} else {
		double t_2 = (i * a) - (z * c);
		double t_3 = y * (i * j);
		double t_4 = a * (x * t);
		double tmp_1;
		if (y <= -1.2834941009206854e+111) {
			tmp_1 = fma(b, t_2, ((y * (z * x)) - (t_3 + t_4)));
		} else {
			double t_5 = (b * a) - (y * j);
			double t_6 = c * (j * t);
			double t_7 = c * (z * b);
			double tmp_2;
			if (y <= -7.863566089797894e-220) {
				tmp_2 = (fma(i, t_5, fma(y, (z * x), t_6)) - t_7) - t_4;
			} else if (y <= -4.027453351852585e-260) {
				tmp_2 = fma(b, t_2, -(i * (y * j)));
			} else if (y <= 5.140500729646445e-265) {
				tmp_2 = fma(c, (j * t), ((z * ((y * x) - (b * c))) - t_4));
			} else if (y <= 7.840253637968856e-120) {
				tmp_2 = fma(b, t_2, (t_6 - t_3));
			} else if (y <= 9.482709923452732e+50) {
				tmp_2 = fma(b, t_2, fma(x, ((y * z) - (a * t)), (j * ((c * t) - (y * i)))));
			} else if (y <= 7.559661804942138e+112) {
				tmp_2 = (t_6 + (i * t_5)) - (t_4 + t_7);
			} else {
				tmp_2 = t_1;
			}
			tmp_1 = tmp_2;
		}
		tmp = tmp_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	17.1
Target	20.1
Herbie	18.0

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -8.120978919195912 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t < -4.712553818218485 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{elif}\;t < -7.633533346031584 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t < 1.0535888557455487 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 8 regimes

2. if y < -6.60809316499797666e234 or 7.5596618049421378e112 < y

   1. Initial program 25.4

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 22.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in y around inf 18.6

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(z \cdot x - i \cdot j\right)} \]

   if -6.60809316499797666e234 < y < -1.2834941009206854e111

   1. Initial program 22.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 19.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in c around 0 17.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \color{blue}{y \cdot \left(z \cdot x\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)}\right) \]

   if -1.2834941009206854e111 < y < -7.86356608979789409e-220

   1. Initial program 14.0

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 12.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in b around 0 17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]

   4. Applied associate--r+_binary64 17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)\right) - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)} \]

   5. Simplified 16.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x\right)\right) + i \cdot \left(b \cdot a - j \cdot y\right)\right)} - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right) \]

   6. Applied associate--r+_binary64 16.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x\right)\right) + i \cdot \left(b \cdot a - j \cdot y\right)\right) - c \cdot \left(z \cdot b\right)\right) - a \cdot \left(t \cdot x\right)} \]

   7. Simplified 15.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(i, a \cdot b - y \cdot j, \mathsf{fma}\left(y, z \cdot x, c \cdot \left(j \cdot t\right)\right)\right) - c \cdot \left(b \cdot z\right)\right)} - a \cdot \left(t \cdot x\right) \]

   if -7.86356608979789409e-220 < y < -4.02745335185258474e-260

   1. Initial program 15.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 14.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in i around inf 31.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \color{blue}{-1 \cdot \left(i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)}\right) \]

   4. Simplified 31.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \color{blue}{-i \cdot \left(j \cdot y\right)}\right) \]

   if -4.02745335185258474e-260 < y < 5.1405007296464449e-265

   1. Initial program 10.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 10.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in b around 0 21.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]

   4. Applied associate--r+_binary64 21.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)\right) - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)} \]

   5. Simplified 16.8

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x\right)\right) + i \cdot \left(b \cdot a - j \cdot y\right)\right)} - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right) \]

   6. Taylor expanded in i around 0 25.5

      \[\leadsto \color{blue}{\left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right) - \left(c \cdot \left(b \cdot z\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)} \]

   7. Simplified 21.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c, j \cdot t, z \cdot \left(y \cdot x - b \cdot c\right) - a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)} \]

   if 5.1405007296464449e-265 < y < 7.8402536379688557e-120

   1. Initial program 12.5

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 11.5

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 23.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \color{blue}{c \cdot \left(t \cdot j\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)}\right) \]

   if 7.8402536379688557e-120 < y < 9.482709923452732e50

   1. Initial program 12.3

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 10.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   if 9.482709923452732e50 < y < 7.5596618049421378e112

   1. Initial program 20.2

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 19.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in b around 0 17.5

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]

   4. Applied associate--r+_binary64 17.5

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)\right) - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)} \]

   5. Simplified 19.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x\right)\right) + i \cdot \left(b \cdot a - j \cdot y\right)\right)} - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right) \]

   6. Taylor expanded in c around inf 24.5

      \[\leadsto \left(\color{blue}{c \cdot \left(t \cdot j\right)} + i \cdot \left(b \cdot a - j \cdot y\right)\right) - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right) \]

   7. Simplified 24.5

      \[\leadsto \left(\color{blue}{c \cdot \left(j \cdot t\right)} + i \cdot \left(b \cdot a - j \cdot y\right)\right) - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right) \]
3. Recombined 8 regimes into one program.

4. Final simplification 18.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -6.608093164997977 \cdot 10^{+234}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(z \cdot x - i \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq -1.2834941009206854 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, i \cdot a - z \cdot c, y \cdot \left(z \cdot x\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq -7.863566089797894 \cdot 10^{-220}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(i, b \cdot a - y \cdot j, \mathsf{fma}\left(y, z \cdot x, c \cdot \left(j \cdot t\right)\right)\right) - c \cdot \left(z \cdot b\right)\right) - a \cdot \left(x \cdot t\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq -4.027453351852585 \cdot 10^{-260}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, i \cdot a - z \cdot c, -i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 5.140500729646445 \cdot 10^{-265}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c, j \cdot t, z \cdot \left(y \cdot x - b \cdot c\right) - a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 7.840253637968856 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, i \cdot a - z \cdot c, c \cdot \left(j \cdot t\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 9.482709923452732 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, i \cdot a - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - a \cdot t, j \cdot \left(c \cdot t - y \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 7.559661804942138 \cdot 10^{+112}:\\ \;\;\;\;\left(c \cdot \left(j \cdot t\right) + i \cdot \left(b \cdot a - y \cdot j\right)\right) - \left(a \cdot \left(x \cdot t\right) + c \cdot \left(z \cdot b\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(z \cdot x - i \cdot j\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -8.120978919195912e-33) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t -4.712553818218485e-169) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2.0) (pow (* i y) 2.0))) (+ (* c t) (* i y)))) (if (< t -7.633533346031584e-308) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t 1.0535888557455487e-139) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2.0) (pow (* i y) 2.0))) (+ (* c t) (* i y)))) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j)))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (* j (- (* c t) (* i y)))))