Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 3.9 → 2.6

Time: 11.6s

Precision: binary64

Math

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 8.96903814435738 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\frac{\log x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x, -0.25\right)}{x + 0.5} - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{z \cdot \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) + 0.083333333333333}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\log x, x + -0.5, 0.91893853320467 - x\right) + \left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \frac{z \cdot z}{x}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
  (/
   (+
    (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z)
    0.083333333333333)
   x)))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (<= x 8.96903814435738e+24)
   (+
    (+ (- (/ (* (log x) (fma x x -0.25)) (+ x 0.5)) x) 0.91893853320467)
    (/
     (+
      (* z (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778))
      0.083333333333333)
     x))
   (+
    (fma (log x) (+ x -0.5) (- 0.91893853320467 x))
    (* (+ y 0.0007936500793651) (/ (* z z) x)))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + ((((((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778) * z) + 0.083333333333333) / x);
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (x <= 8.96903814435738e+24) {
		tmp = ((((log(x) * fma(x, x, -0.25)) / (x + 0.5)) - x) + 0.91893853320467) + (((z * (((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778)) + 0.083333333333333) / x);
	} else {
		tmp = fma(log(x), (x + -0.5), (0.91893853320467 - x)) + ((y + 0.0007936500793651) * ((z * z) / x));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	3.9
Target	0.9
Herbie	2.6

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.91893853320467 - x\right)\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right) - 0.0027777777777778\right) \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 8.96903814435738e24

   1. Initial program 0.3

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

   2. Applied flip--_binary64 0.3

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{x \cdot x - 0.5 \cdot 0.5}{x + 0.5}} \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

   3. Applied associate-*l/_binary64 0.3

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{\left(x \cdot x - 0.5 \cdot 0.5\right) \cdot \log x}{x + 0.5}} - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

   4. Simplified 0.3

      \[\leadsto \left(\left(\frac{\color{blue}{\log x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x, -0.25\right)}}{x + 0.5} - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

   if 8.96903814435738e24 < x

   1. Initial program 8.2

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 8.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.91893853320467 + \log x \cdot x\right) - \left(0.5 \cdot \log x + x\right)\right)} + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

   3. Simplified 8.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\log x, x + -0.5, 0.91893853320467 - x\right)} + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

   4. Taylor expanded in z around inf 8.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x + -0.5, 0.91893853320467 - x\right) + \color{blue}{\frac{\left(0.0007936500793651 + y\right) \cdot {z}^{2}}{x}} \]

   5. Simplified 5.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x + -0.5, 0.91893853320467 - x\right) + \color{blue}{\frac{z \cdot z}{x} \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 2.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 8.96903814435738 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\frac{\log x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x, -0.25\right)}{x + 0.5} - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{z \cdot \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) + 0.083333333333333}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\log x, x + -0.5, 0.91893853320467 - x\right) + \left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \frac{z \cdot z}{x}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))