Average Error: 19.8 → 0.2
Time: 8.3s
Precision: binary64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -4.295389360896411 \cdot 10^{+24} \lor \neg \left(z \leq 2.82420189144759 \cdot 10^{+58}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \end{array} \]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \leq -4.295389360896411 \cdot 10^{+24} \lor \neg \left(z \leq 2.82420189144759 \cdot 10^{+58}\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, x\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\


\end{array}

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (or (<= z -4.295389360896411e+24) (not (<= z 2.82420189144759e+58)))
   (fma y 0.0692910599291889 x)
   (fma
    y
    (/
     (fma z (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) 0.279195317918525)
     (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304))
    x)))
double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if ((z <= -4.295389360896411e+24) || !(z <= 2.82420189144759e+58)) {
		tmp = fma(y, 0.0692910599291889, x);
	} else {
		tmp = fma(y, (fma(z, ((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304)), x);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original19.8
Target0.3
Herbie0.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -4.29538936089641121e24 or 2.82420189144759e58 < z

    1. Initial program 44.9

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified37.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889}, x\right) \]

    if -4.29538936089641121e24 < z < 2.82420189144759e58

    1. Initial program 0.7

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Applied fma-udef_binary640.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \color{blue}{z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968}, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -4.295389360896411 \cdot 10^{+24} \lor \neg \left(z \leq 2.82420189144759 \cdot 10^{+58}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))