math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.2 → 0.9

Time: 13.6s

Precision: binary64

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sin re \cdot -0.5\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (expm1
   (log1p
    (fma
     0.016666666666666666
     (pow im 5.0)
     (fma
      0.3333333333333333
      (pow im 3.0)
      (fma im 2.0 (* 0.0003968253968253968 (pow im 7.0)))))))
  (* (sin re) -0.5)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return expm1(log1p(fma(0.016666666666666666, pow(im, 5.0), fma(0.3333333333333333, pow(im, 3.0), fma(im, 2.0, (0.0003968253968253968 * pow(im, 7.0))))))) * (sin(re) * -0.5);
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	43.2
Target	0.3
Herbie	0.9

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.2

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + 2 \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

4. Applied expm1-log1p-u_binary64 0.9

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

5. Final simplification 0.9

   \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sin re \cdot -0.5\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))