Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

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Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\\ t_2 := x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - t_1\\ \mathbf{if}\;\begin{array}{l} t_3 := t_2 + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\\ t_3 \leq -\infty \lor \neg \left(t_3 \leq 1.137453164215366 \cdot 10^{+307}\right) \end{array}:\\ \;\;\;\;\left(\left(y \cdot \left(x \cdot z\right) - a \cdot \left(x \cdot t\right)\right) - t_1\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_2 + \left(j \cdot \mathsf{fma}\left(c, a, -y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, y \cdot i\right)\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (+
  (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i))))
  (* j (- (* c a) (* y i)))))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* b (- (* z c) (* t i))))
        (t_2 (- (* x (- (* y z) (* t a))) t_1)))
   (if (let* ((t_3 (+ t_2 (* j (- (* a c) (* y i))))))
         (or (<= t_3 (- INFINITY)) (not (<= t_3 1.137453164215366e+307))))
     (+
      (- (- (* y (* x z)) (* a (* x t))) t_1)
      (- (* c (* a j)) (* y (* i j))))
     (+ t_2 (+ (* j (fma c a (- (* y i)))) (* j (fma (- i) y (* y i))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return ((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double t_1 = b * ((z * c) - (t * i));
	double t_2 = (x * ((y * z) - (t * a))) - t_1;
	double t_3 = t_2 + (j * ((a * c) - (y * i)));
	double tmp;
	if ((t_3 <= -((double) INFINITY)) || !(t_3 <= 1.137453164215366e+307)) {
		tmp = (((y * (x * z)) - (a * (x * t))) - t_1) + ((c * (a * j)) - (y * (i * j)));
	} else {
		tmp = t_2 + ((j * fma(c, a, -(y * i))) + (j * fma(-i, y, (y * i))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.1
Target	19.7
Herbie	5.6

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < -1.469694296777705 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x < 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i)))) < -inf.0 or 1.1374531642153661e307 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i))))

   1. Initial program 63.7

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Taylor expanded in c around 0 47.1

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(c \cdot \left(a \cdot j\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in y around 0 27.6

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(y \cdot \left(z \cdot x\right) - a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)\right) \]

   4. Applied *-un-lft-identity_binary64 27.6

      \[\leadsto \left(\left(y \cdot \left(z \cdot x\right) - a \cdot \left(t \cdot x\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) - \color{blue}{1 \cdot \left(y \cdot \left(i \cdot j\right)\right)}\right) \]

   if -inf.0 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i)))) < 1.1374531642153661e307

   1. Initial program 0.8

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Applied prod-diff_binary64 0.8

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, a, -i \cdot y\right) + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)} \]

   3. Applied distribute-lft-in_binary64 0.8

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(j \cdot \mathsf{fma}\left(c, a, -i \cdot y\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 5.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) \leq -\infty \lor \neg \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) \leq 1.137453164215366 \cdot 10^{+307}\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(y \cdot \left(x \cdot z\right) - a \cdot \left(x \cdot t\right)\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) - y \cdot \left(i \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + \left(j \cdot \mathsf{fma}\left(c, a, -y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, y \cdot i\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))