Average Error: 20.3 → 16.0
Time: 11.6s
Precision: binary64
\[[z, t] = \mathsf{sort}([z, t]) \\]
\[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_1 := 2 \cdot \sqrt{x}\\ \mathbf{if}\;z \cdot t \leq -2.4574753195432243 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{1}{-3 \cdot b}, t_1\right)\\ \mathbf{elif}\;z \cdot t \leq 9.350755450367403 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_2 := z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\\ \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, t_1 \cdot \left(\cos t_2 \cdot \cos y - \sin t_2 \cdot \sin y\right)\right) \end{array}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, t_1\right)\\ \end{array} \]
\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}
↓
\begin{array}{l}
t_1 := 2 \cdot \sqrt{x}\\
\mathbf{if}\;z \cdot t \leq -2.4574753195432243 \cdot 10^{+34}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{1}{-3 \cdot b}, t_1\right)\\

\mathbf{elif}\;z \cdot t \leq 9.350755450367403 \cdot 10^{+111}:\\
\;\;\;\;\begin{array}{l}
t_2 := z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\\
\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, t_1 \cdot \left(\cos t_2 \cdot \cos y - \sin t_2 \cdot \sin y\right)\right)
\end{array}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, t_1\right)\\


\end{array}

(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))
↓
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* 2.0 (sqrt x))))
   (if (<= (* z t) -2.4574753195432243e+34)
     (fma a (/ 1.0 (* -3.0 b)) t_1)
     (if (<= (* z t) 9.350755450367403e+111)
       (let* ((t_2 (* z (* t -0.3333333333333333))))
         (fma
          a
          (/ -0.3333333333333333 b)
          (* t_1 (- (* (cos t_2) (cos y)) (* (sin t_2) (sin y))))))
       (fma a (/ -0.3333333333333333 b) t_1)))))
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return ((2.0 * sqrt(x)) * cos(y - ((z * t) / 3.0))) - (a / (b * 3.0));
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	double t_1 = 2.0 * sqrt(x);
	double tmp;
	if ((z * t) <= -2.4574753195432243e+34) {
		tmp = fma(a, (1.0 / (-3.0 * b)), t_1);
	} else if ((z * t) <= 9.350755450367403e+111) {
		double t_2 = z * (t * -0.3333333333333333);
		tmp = fma(a, (-0.3333333333333333 / b), (t_1 * ((cos(t_2) * cos(y)) - (sin(t_2) * sin(y)))));
	} else {
		tmp = fma(a, (-0.3333333333333333 / b), t_1);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Target

Original20.3
Target18.4
Herbie16.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -1.3793337487235141 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{y} - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{elif}\;z < 3.516290613555987 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x} \cdot 2\right) \cdot \cos \left(y - \frac{t}{3} \cdot z\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - \frac{\frac{a}{b}}{3}\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (*.f64 z t) < -2.4574753195432243e34

    1. Initial program 41.7

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

    2. Simplified41.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right)\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around 0 32.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\cos y}\right) \]

    4. Applied clear-num_binary6432.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{-0.3333333333333333}}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]

    5. Taylor expanded in b around 0 32.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{1}{\color{blue}{-3 \cdot b}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]

    6. Taylor expanded in y around 0 32.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{1}{-3 \cdot b}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt{x}}\right) \]

    if -2.4574753195432243e34 < (*.f64 z t) < 9.3507554503674033e111

    1. Initial program 6.2

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

    2. Simplified6.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right)\right)} \]

    3. Applied fma-udef_binary646.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right) + y\right)}\right) \]

    4. Applied cos-sum_binary645.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos y - \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin y\right)}\right) \]

    if 9.3507554503674033e111 < (*.f64 z t)

    1. Initial program 43.1

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

    2. Simplified43.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right)\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around 0 32.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\cos y}\right) \]

    4. Taylor expanded in y around 0 32.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt{x}}\right) \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification16.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot t \leq -2.4574753195432243 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{1}{-3 \cdot b}, 2 \cdot \sqrt{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;z \cdot t \leq 9.350755450367403 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos y - \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, 2 \cdot \sqrt{x}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, K"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -1.3793337487235141e+129) (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- (/ 1.0 y) (/ (/ 0.3333333333333333 z) t)))) (/ (/ a 3.0) b)) (if (< z 3.516290613555987e+106) (- (* (* (sqrt x) 2.0) (cos (- y (* (/ t 3.0) z)))) (/ (/ a 3.0) b)) (- (* (cos (- y (/ (/ 0.3333333333333333 z) t))) (* 2.0 (sqrt x))) (/ (/ a b) 3.0))))

  (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))