Average Error: 5.8 → 0.4
Time: 23.1s
Precision: binary64
\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]
↓
\[\left(\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]
\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x}
↓
\left(\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right)

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
  (/
   (+
    (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z)
    0.083333333333333)
   x)))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (- (fma (log x) (- x 0.5) 0.91893853320467) x)
  (+
   (+ (/ 0.083333333333333 x) (* (* z (/ z x)) (+ 0.0007936500793651 y)))
   (* (/ z x) -0.0027777777777778))))
double code(double x, double y, double z) {
	return ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + ((((((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778) * z) + 0.083333333333333) / x);
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	return (fma(log(x), (x - 0.5), 0.91893853320467) - x) + (((0.083333333333333 / x) + ((z * (z / x)) * (0.0007936500793651 + y))) + ((z / x) * -0.0027777777777778));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original5.8
Target1.3
Herbie0.4
\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.91893853320467 - x\right)\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right) - 0.0027777777777778\right) \]

Derivation

  1. Initial program 5.8

    \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

  2. Simplified5.8

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right), 0.083333333333333\right)}{x}} \]

  3. Taylor expanded in z around 0 5.9

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \color{blue}{\left(\left(0.0007936500793651 \cdot \frac{{z}^{2}}{x} + \left(\frac{y \cdot {z}^{2}}{x} + 0.083333333333333 \cdot \frac{1}{x}\right)\right) - 0.0027777777777778 \cdot \frac{z}{x}\right)} \]

  4. Simplified0.4

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \color{blue}{\left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right)} \]

  5. Applied add-cube-cbrt_binary640.9

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right)}} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  6. Simplified0.9

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right)} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  7. Simplified0.9

    \[\leadsto \left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)}} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  8. Applied pow3_binary640.9

    \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)}\right)}^{3}} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  9. Applied *-un-lft-identity_binary640.9

    \[\leadsto \left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)}}\right)}^{3} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  10. Applied cbrt-prod_binary640.9

    \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)}\right)}}^{3} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  11. Applied unpow-prod-down_binary640.9

    \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)}\right)}^{3}} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  12. Simplified0.9

    \[\leadsto \left(\color{blue}{1} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)}\right)}^{3} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  13. Simplified0.4

    \[\leadsto \left(1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right)} - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

  14. Final simplification0.4

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))