Average Error: 20.3 → 0.4
Time: 5.6s
Precision: binary64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}\\ t_1 := 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}\\ \mathbf{if}\;z \leq -1.807507164155097 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + t_0\right) - t_1, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.0658044854479169 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z \cdot z, z \cdot 0.4917317610505968\right) + 0.279195317918525}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + \left(t_0 + 2.181088706546648 \cdot \frac{1}{{z}^{3}}\right)\right) - t_1, x\right)\\ \end{array} \]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}\\
t_1 := 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}\\
\mathbf{if}\;z \leq -1.807507164155097 \cdot 10^{+153}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + t_0\right) - t_1, x\right)\\

\mathbf{elif}\;z \leq 1.0658044854479169 \cdot 10^{-8}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z \cdot z, z \cdot 0.4917317610505968\right) + 0.279195317918525}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + \left(t_0 + 2.181088706546648 \cdot \frac{1}{{z}^{3}}\right)\right) - t_1, x\right)\\


\end{array}

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.07512208616047561 (/ 1.0 z)))
        (t_1 (* 0.4046220386999212 (/ 1.0 (pow z 2.0)))))
   (if (<= z -1.807507164155097e+153)
     (fma y (- (+ 0.0692910599291889 t_0) t_1) x)
     (if (<= z 1.0658044854479169e-8)
       (fma
        y
        (/
         (+
          (fma 0.0692910599291889 (* z z) (* z 0.4917317610505968))
          0.279195317918525)
         (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304))
        x)
       (fma
        y
        (-
         (+
          0.0692910599291889
          (+ t_0 (* 2.181088706546648 (/ 1.0 (pow z 3.0)))))
         t_1)
        x)))))
double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = 0.07512208616047561 * (1.0 / z);
	double t_1 = 0.4046220386999212 * (1.0 / pow(z, 2.0));
	double tmp;
	if (z <= -1.807507164155097e+153) {
		tmp = fma(y, ((0.0692910599291889 + t_0) - t_1), x);
	} else if (z <= 1.0658044854479169e-8) {
		tmp = fma(y, ((fma(0.0692910599291889, (z * z), (z * 0.4917317610505968)) + 0.279195317918525) / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304)), x);
	} else {
		tmp = fma(y, ((0.0692910599291889 + (t_0 + (2.181088706546648 * (1.0 / pow(z, 3.0))))) - t_1), x);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.3
Target0.4
Herbie0.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if z < -1.807507164155097e153

    1. Initial program 63.7

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified63.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Applied expm1-log1p-u_binary6463.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right)}, x\right) \]

    4. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\left(0.0692910599291889 + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}}, x\right) \]

    if -1.807507164155097e153 < z < 1.06580448544791686e-8

    1. Initial program 3.7

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Applied fma-udef_binary640.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \frac{\color{blue}{z \cdot \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right) + 0.279195317918525}}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]

    4. Simplified0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z \cdot z, z \cdot 0.4917317610505968\right)} + 0.279195317918525}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]

    if 1.06580448544791686e-8 < z

    1. Initial program 39.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified31.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around inf 1.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\left(0.0692910599291889 + \left(2.181088706546648 \cdot \frac{1}{{z}^{3}} + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}}, x\right) \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification0.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -1.807507164155097 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.0658044854479169 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z \cdot z, z \cdot 0.4917317610505968\right) + 0.279195317918525}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z} + 2.181088706546648 \cdot \frac{1}{{z}^{3}}\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}, x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))