Average Error: 29.6 → 0.6
Time: 7.0s
Precision: binary64
\[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, {\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)}\right)}^{2}\right) \]
\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x}
↓
\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, {\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)}\right)}^{2}\right)

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  0.08333333333333333
  (pow x 4.0)
  (pow
   (sqrt
    (fma
     0.002777777777777778
     (pow x 6.0)
     (fma x x (* 4.96031746031746e-5 (pow x 8.0)))))
   2.0)))
double code(double x) {
	return (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
}
↓
double code(double x) {
	return fma(0.08333333333333333, pow(x, 4.0), pow(sqrt(fma(0.002777777777777778, pow(x, 6.0), fma(x, x, (4.96031746031746e-5 * pow(x, 8.0))))), 2.0));
}

Error

Bits error versus x

Target

Original29.6
Target0.0
Herbie0.6
\[4 \cdot {\sinh \left(\frac{x}{2}\right)}^{2} \]

Derivation

  1. Initial program 29.6

    \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

  2. Taylor expanded in x around 0 0.6

    \[\leadsto \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + {x}^{2}\right)\right)} \]

  3. Simplified0.6

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)\right)} \]

  4. Applied add-sqr-sqrt_binary640.6

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)}}\right) \]

  5. Applied pow2_binary640.6

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)}\right)}^{2}}\right) \]

  6. Final simplification0.6

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, {\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(x, x, 4.96031746031746 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)\right)}\right)}^{2}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022068 
(FPCore (x)
  :name "exp2 (problem 3.3.7)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 4.0 (pow (sinh (/ x 2.0)) 2.0))

  (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))