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Precision: binary64
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1.0269296551259906 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.982803894529838 \cdot 10^{-170}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(a \cdot 3\right) \cdot c} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 1.4435507859232425 \cdot 10^{+107}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.5 \cdot \frac{c}{b}\\ \end{array} \]
\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;b \leq -1.0269296551259906 \cdot 10^{+155}:\\
\;\;\;\;\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a}\\

\mathbf{elif}\;b \leq 9.982803894529838 \cdot 10^{-170}:\\
\;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(a \cdot 3\right) \cdot c} - b}{a \cdot 3}\\

\mathbf{elif}\;b \leq 1.4435507859232425 \cdot 10^{+107}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;-0.5 \cdot \frac{c}{b}\\


\end{array}

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))
↓
(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1.0269296551259906e+155)
   (/ (* b -0.6666666666666666) a)
   (if (<= b 9.982803894529838e-170)
     (/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* a 3.0) c))) b) (* a 3.0))
     (if (<= b 1.4435507859232425e+107)
       (/
        (* (* a (* c -3.0)) (/ 0.3333333333333333 a))
        (+ b (sqrt (fma a (* c -3.0) (* b b)))))
       (* -0.5 (/ c b))))))
double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt((b * b) - ((3.0 * a) * c))) / (3.0 * a);
}
↓
double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1.0269296551259906e+155) {
		tmp = (b * -0.6666666666666666) / a;
	} else if (b <= 9.982803894529838e-170) {
		tmp = (sqrt((b * b) - ((a * 3.0) * c)) - b) / (a * 3.0);
	} else if (b <= 1.4435507859232425e+107) {
		tmp = ((a * (c * -3.0)) * (0.3333333333333333 / a)) / (b + sqrt(fma(a, (c * -3.0), (b * b))));
	} else {
		tmp = -0.5 * (c / b);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if b < -1.02692965512599057e155

    1. Initial program 36.3

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

    2. Simplified36.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} - b\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}} \]

    3. Applied associate-*r/_binary6436.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} - b\right) \cdot 0.3333333333333333}{a}} \]

    4. Simplified31.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\mathsf{hypot}\left(b, \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right) - b\right)}}{a} \]

    5. Taylor expanded in b around -inf 1.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{-0.6666666666666666 \cdot b}}{a} \]

    if -1.02692965512599057e155 < b < 9.98280389452983778e-170

    1. Initial program 9.7

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

    if 9.98280389452983778e-170 < b < 1.4435507859232425e107

    1. Initial program 38.7

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

    2. Simplified38.7

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} - b\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}} \]

    3. Applied flip--_binary6438.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} - b \cdot b}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} + b}} \cdot \frac{0.3333333333333333}{a} \]

    4. Applied associate-*l/_binary6438.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} + b}} \]

    5. Simplified14.8

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + 0\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} + b} \]

    if 1.4435507859232425e107 < b

    1. Initial program 59.8

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

    2. Simplified59.8

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} - b\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}} \]

    3. Taylor expanded in a around 0 2.3

      \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \frac{c}{b}} \]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification7.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1.0269296551259906 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.982803894529838 \cdot 10^{-170}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(a \cdot 3\right) \cdot c} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 1.4435507859232425 \cdot 10^{+107}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.5 \cdot \frac{c}{b}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022067 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical"
  :precision binary64
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))