Average Error: 29.9 → 9.7
Time: 3.9s
Precision: binary64
\[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.9890530257632301:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0077146496144738985:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + t_0 \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)} \end{array}\\ \end{array} \]
\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \leq -0.9890530257632301:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\right)\\

\mathbf{elif}\;x \leq 0.0077146496144738985:\\
\;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\
\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + t_0 \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)}
\end{array}\\


\end{array}

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.9890530257632301)
   (fma
    0.3333333333333333
    (cbrt (/ 1.0 (* x x)))
    (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111))
   (if (<= x 0.0077146496144738985)
     (- (pow (+ x 1.0) 0.3333333333333333) (cbrt x))
     (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
       (/ 1.0 (+ (pow x 0.6666666666666666) (* t_0 (+ (cbrt x) t_0))))))))
double code(double x) {
	return cbrt(x + 1.0) - cbrt(x);
}
↓
double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.9890530257632301) {
		tmp = fma(0.3333333333333333, cbrt(1.0 / (x * x)), (cbrt(1.0 / pow(x, 5.0)) * -0.1111111111111111));
	} else if (x <= 0.0077146496144738985) {
		tmp = pow((x + 1.0), 0.3333333333333333) - cbrt(x);
	} else {
		double t_0 = cbrt(x + 1.0);
		tmp = 1.0 / (pow(x, 0.6666666666666666) + (t_0 * (cbrt(x) + t_0)));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if x < -0.989053025763230065

    1. Initial program 59.7

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

    2. Taylor expanded in x around inf 45.9

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} - 0.1111111111111111 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

    3. Simplified33.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\right)} \]

    if -0.989053025763230065 < x < 0.00771464961447389849

    1. Initial program 0.0

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

    2. Applied pow1/3_binary640.0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

    if 0.00771464961447389849 < x

    1. Initial program 59.1

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

    2. Applied flip3--_binary6459.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

    3. Simplified1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

    4. Simplified4.5

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification9.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.9890530257632301:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0077146496144738985:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022067 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))