Average Error: 1.0 → 0.0
Time: 4.7s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\\ t_1 := \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\\ 2 \cdot \left(\left(t_0 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)\right) \cdot \cos t_1 - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin t_1\right) \end{array} \]
2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\\
t_1 := \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\\
2 \cdot \left(\left(t_0 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)\right) \cdot \cos t_1 - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin t_1\right)
\end{array}

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (cos (* PI 0.6666666666666666))))
        (t_1 (* (/ 1.0 (sqrt 3.0)) (/ (acos (/ (- g) h)) (sqrt 3.0)))))
   (*
    2.0
    (-
     (* (* t_0 (* t_0 t_0)) (cos t_1))
     (* (sin (* PI 0.6666666666666666)) (sin t_1))))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos(-g / h) / 3.0));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = cbrt(cos(((double) M_PI) * 0.6666666666666666));
	double t_1 = (1.0 / sqrt(3.0)) * (acos(-g / h) / sqrt(3.0));
	return 2.0 * (((t_0 * (t_0 * t_0)) * cos(t_1)) - (sin(((double) M_PI) * 0.6666666666666666) * sin(t_1)));
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied add-sqr-sqrt_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\color{blue}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}\right)\right) \]

  4. Applied *-un-lft-identity_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\color{blue}{1 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\right)\right) \]

  5. Applied times-frac_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}}\right)\right) \]

  6. Applied fma-udef_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\right)} \]

  7. Applied cos-sum_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\right)\right)} \]

  8. Applied add-cube-cbrt_binary640.0

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)} \cdot \cos \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\right)\right) \]

  9. Final simplification0.0

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022067 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))