Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, E

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Precision: binary64

\[[y, z]=\mathsf{sort}([y, z])\]

Math

\[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - t \cdot \left(a \cdot 4\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -1.706275882727556 \cdot 10^{+288}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(y, 18 \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t_1 \leq 1.3502924159428087 \cdot 10^{+280}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot c + 18 \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot \left(z \cdot t\right)\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(x \cdot i\right) + \left(4 \cdot \left(t \cdot a\right) + 27 \cdot \left(j \cdot k\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (-
  (-
   (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c))
   (* (* x 4.0) i))
  (* (* j 27.0) k)))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (let* ((t_1
         (-
          (-
           (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* t (* a 4.0))) (* b c))
           (* (* x 4.0) i))
          (* (* j 27.0) k))))
   (if (<= t_1 -1.706275882727556e+288)
     (fma
      x
      (fma y (* 18.0 (* z t)) (* i -4.0))
      (fma a (* t -4.0) (fma -27.0 (* j k) (* b c))))
     (if (<= t_1 1.3502924159428087e+280)
       t_1
       (-
        (+ (* b c) (* 18.0 (* y (* x (* z t)))))
        (+ (* 4.0 (* x i)) (+ (* 4.0 (* t a)) (* 27.0 (* j k)))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	return (((((((x * 18.0) * y) * z) * t) - ((a * 4.0) * t)) + (b * c)) - ((x * 4.0) * i)) - ((j * 27.0) * k);
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	double t_1 = (((((((x * 18.0) * y) * z) * t) - (t * (a * 4.0))) + (b * c)) - ((x * 4.0) * i)) - ((j * 27.0) * k);
	double tmp;
	if (t_1 <= -1.706275882727556e+288) {
		tmp = fma(x, fma(y, (18.0 * (z * t)), (i * -4.0)), fma(a, (t * -4.0), fma(-27.0, (j * k), (b * c))));
	} else if (t_1 <= 1.3502924159428087e+280) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = ((b * c) + (18.0 * (y * (x * (z * t))))) - ((4.0 * (x * i)) + ((4.0 * (t * a)) + (27.0 * (j * k))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Bits error versus k

Target

Original	5.8
Target	1.8
Herbie	1.5

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -1.6210815397541398 \cdot 10^{-69}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \mathbf{elif}\;t < 165.68027943805222:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot \left(z \cdot t\right)\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) + \left(c \cdot b - 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 (-.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 x 18) y) z) t) (*.f64 (*.f64 a 4) t)) (*.f64 b c)) (*.f64 (*.f64 x 4) i)) (*.f64 (*.f64 j 27) k)) < -1.70627588272755597e288

   1. Initial program 35.7

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

   2. Simplified 7.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in y around 0 7.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{18 \cdot \left(y \cdot \left(t \cdot z\right)\right) - 4 \cdot i}, \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right) \]

   4. Simplified 7.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(t \cdot z\right) \cdot 18, i \cdot -4\right)}, \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right) \]

   if -1.70627588272755597e288 < (-.f64 (-.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 x 18) y) z) t) (*.f64 (*.f64 a 4) t)) (*.f64 b c)) (*.f64 (*.f64 x 4) i)) (*.f64 (*.f64 j 27) k)) < 1.35029241594280872e280

   1. Initial program 0.3

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

   if 1.35029241594280872e280 < (-.f64 (-.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 (*.f64 x 18) y) z) t) (*.f64 (*.f64 a 4) t)) (*.f64 b c)) (*.f64 (*.f64 x 4) i)) (*.f64 (*.f64 j 27) k))

   1. Initial program 30.8

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

   2. Simplified 8.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 11.3

      \[\leadsto \color{blue}{\left(c \cdot b + 18 \cdot \left(y \cdot \left(t \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right)} \]

   4. Applied associate-*r*_binary64 7.7

      \[\leadsto \left(c \cdot b + 18 \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(t \cdot z\right) \cdot x\right)}\right)\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 1.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - t \cdot \left(a \cdot 4\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \leq -1.706275882727556 \cdot 10^{+288}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(y, 18 \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - t \cdot \left(a \cdot 4\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \leq 1.3502924159428087 \cdot 10^{+280}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - t \cdot \left(a \cdot 4\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot c + 18 \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot \left(z \cdot t\right)\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(x \cdot i\right) + \left(4 \cdot \left(t \cdot a\right) + 27 \cdot \left(j \cdot k\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022061 
(FPCore (x y z t a b c i j k)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, E"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -1.6210815397541398e-69) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b))) (if (< t 165.68027943805222) (+ (- (* (* 18.0 y) (* x (* z t))) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* c b) (* 27.0 (* k j)))) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b)))))

  (- (- (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c)) (* (* x 4.0) i)) (* (* j 27.0) k)))