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Precision: binary32
\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]
\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(e^{\log \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right), xi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi
↓
\mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(e^{\log \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right), xi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi\right)\right)

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))
↓
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  ux
  (* (* (- 1.0 ux) maxCos) zi)
  (*
   (sqrt (fma ux (* ux (* (* maxCos maxCos) (fma 2.0 ux -1.0))) 1.0))
   (fma
    (cos (exp (log (* 2.0 (* uy PI)))))
    xi
    (* (sin (* PI (* 2.0 uy))) yi)))))
float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux)))) * xi) + ((sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux)))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}
↓
float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(ux, (((1.0f - ux) * maxCos) * zi), (sqrtf(fmaf(ux, (ux * ((maxCos * maxCos) * fmaf(2.0f, ux, -1.0f))), 1.0f)) * fmaf(cosf(expf(logf(2.0f * (uy * ((float) M_PI))))), xi, (sinf(((float) M_PI) * (2.0f * uy)) * yi))));
}

Error

Bits error versus xi

Bits error versus yi

Bits error versus zi

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

Derivation

  1. Initial program 0.3

    \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

  2. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right)} \]

  3. Taylor expanded in ux around 0 0.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot ux\right) - {maxCos}^{2}\right)}, 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  4. Simplified0.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right)}, 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  5. Applied add-exp-log_binary320.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{e^{\log \pi}}\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  6. Applied add-exp-log_binary320.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot \color{blue}{e^{\log 2}}\right) \cdot e^{\log \pi}\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  7. Applied add-exp-log_binary320.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(\color{blue}{e^{\log uy}} \cdot e^{\log 2}\right) \cdot e^{\log \pi}\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  8. Applied prod-exp_binary320.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\color{blue}{e^{\log uy + \log 2}} \cdot e^{\log \pi}\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  9. Applied prod-exp_binary320.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(e^{\left(\log uy + \log 2\right) + \log \pi}\right)}, xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  10. Simplified0.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(e^{\color{blue}{\log \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}}\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  11. Final simplification0.4

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \mathsf{fma}\left(2, ux, -1\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(e^{\log \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right), xi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022024 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))