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Precision: binary32
\[\left(0 \leq s \land s \leq 256\right) \land \left(10^{-6} < r \land r < 1000000\right)\]
\[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
↓
\[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{r \cdot \left(s \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + \frac{0.75 \cdot e^{\sqrt{r} \cdot \left(\sqrt{r} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{s}\right)}}{\left(\pi \cdot 6\right) \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r}
↓
\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{r \cdot \left(s \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + \frac{0.75 \cdot e^{\sqrt{r} \cdot \left(\sqrt{r} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{s}\right)}}{\left(\pi \cdot 6\right) \cdot \left(r \cdot s\right)}

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r))
  (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))
↓
(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* r (* s (* 2.0 PI))))
  (/
   (* 0.75 (exp (* (sqrt r) (* (sqrt r) (/ -0.3333333333333333 s)))))
   (* (* PI 6.0) (* r s)))))
float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf(-r / s)) / (((2.0f * ((float) M_PI)) * s) * r)) + ((0.75f * expf(-r / (3.0f * s))) / (((6.0f * ((float) M_PI)) * s) * r));
}
↓
float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf(-r / s)) / (r * (s * (2.0f * ((float) M_PI))))) + ((0.75f * expf(sqrtf(r) * (sqrtf(r) * (-0.3333333333333333f / s)))) / ((((float) M_PI) * 6.0f) * (r * s)));
}

Error

Bits error versus s

Bits error versus r

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Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

  2. Applied div-inv_binary320.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\color{blue}{\left(-r\right) \cdot \frac{1}{3 \cdot s}}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

  3. Simplified0.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\left(-r\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{s}}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

  4. Applied associate-*l*_binary320.1

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\left(-r\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{s}}}{\color{blue}{\left(6 \cdot \pi\right) \cdot \left(s \cdot r\right)}} \]

  5. Applied add-sqr-sqrt_binary320.2

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\left(-\color{blue}{\sqrt{r} \cdot \sqrt{r}}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{s}}}{\left(6 \cdot \pi\right) \cdot \left(s \cdot r\right)} \]

  6. Applied distribute-rgt-neg-in_binary320.2

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\color{blue}{\left(\sqrt{r} \cdot \left(-\sqrt{r}\right)\right)} \cdot \frac{0.3333333333333333}{s}}}{\left(6 \cdot \pi\right) \cdot \left(s \cdot r\right)} \]

  7. Applied associate-*l*_binary320.2

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\color{blue}{\sqrt{r} \cdot \left(\left(-\sqrt{r}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{s}\right)}}}{\left(6 \cdot \pi\right) \cdot \left(s \cdot r\right)} \]

  8. Final simplification0.2

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{r \cdot \left(s \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + \frac{0.75 \cdot e^{\sqrt{r} \cdot \left(\sqrt{r} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{s}\right)}}{\left(\pi \cdot 6\right) \cdot \left(r \cdot s\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022004 
(FPCore (s r)
  :name "Disney BSSRDF, PDF of scattering profile"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0 s) (<= s 256.0)) (and (< 1e-6 r) (< r 1000000.0)))
  (+ (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r)) (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))