Average Error: 1.0 → 0.1
Time: 5.6s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t_0, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{t_0}{3}\right)\right)}\right) \end{array} \]
2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\
2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t_0, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{t_0}{3}\right)\right)}\right)
\end{array}

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- (/ g h)))))
   (*
    2.0
    (*
     (cbrt
      (pow (cos (fma 0.3333333333333333 t_0 (* 0.6666666666666666 PI))) 2.0))
     (cbrt (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ t_0 3.0))))))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos(-g / h) / 3.0));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-(g / h));
	return 2.0 * (cbrt(pow(cos(fma(0.3333333333333333, t_0, (0.6666666666666666 * ((double) M_PI)))), 2.0)) * cbrt(cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (t_0 / 3.0)))));
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied add-cube-cbrt_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)} \]

  4. Taylor expanded in g around 0 1.0

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{{\left({\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

  5. Simplified0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

  6. Final simplification0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022004 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))