Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 5.9 → 0.4

Time: 7.3s

Precision: binary64

Math

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

↓

\[\left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\sqrt{\sqrt{0.083333333333333}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.083333333333333}\right)}^{1.5}}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
  (/
   (+
    (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z)
    0.083333333333333)
   x)))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (- (fma (- x 0.5) (log x) 0.91893853320467) x)
  (+
   (+
    (*
     (sqrt (sqrt 0.083333333333333))
     (/ (pow (sqrt 0.083333333333333) 1.5) x))
    (* (* z (/ z x)) (+ 0.0007936500793651 y)))
   (* (/ z x) -0.0027777777777778))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + ((((((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778) * z) + 0.083333333333333) / x);
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	return (fma((x - 0.5), log(x), 0.91893853320467) - x) + (((sqrt(sqrt(0.083333333333333)) * (pow(sqrt(0.083333333333333), 1.5) / x)) + ((z * (z / x)) * (0.0007936500793651 + y))) + ((z / x) * -0.0027777777777778));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	5.9
Target	1.2
Herbie	0.4

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.91893853320467 - x\right)\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right) - 0.0027777777777778\right) \]

Derivation

1. Initial program 5.9

   \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

2. Simplified 5.9

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right), 0.083333333333333\right)}{x}} \]

3. Taylor expanded in z around 0 6.0

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \color{blue}{\left(\left(0.0007936500793651 \cdot \frac{{z}^{2}}{x} + \left(\frac{y \cdot {z}^{2}}{x} + 0.083333333333333 \cdot \frac{1}{x}\right)\right) - 0.0027777777777778 \cdot \frac{z}{x}\right)} \]

4. Simplified 0.5

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \color{blue}{\left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right)} \]

5. Applied *-un-lft-identity_binary64 0.5

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{\color{blue}{1 \cdot x}} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

6. Applied add-sqr-sqrt_binary64 0.6

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{0.083333333333333} \cdot \sqrt{0.083333333333333}}}{1 \cdot x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

7. Applied times-frac_binary64 0.5

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\color{blue}{\frac{\sqrt{0.083333333333333}}{1} \cdot \frac{\sqrt{0.083333333333333}}{x}} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

8. Simplified 0.5

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\color{blue}{\sqrt{0.083333333333333}} \cdot \frac{\sqrt{0.083333333333333}}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

9. Applied add-sqr-sqrt_binary64 0.5

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{0.083333333333333}} \cdot \sqrt{\sqrt{0.083333333333333}}\right)} \cdot \frac{\sqrt{0.083333333333333}}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

10. Applied associate-*l*_binary64 0.6

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{0.083333333333333}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{0.083333333333333}} \cdot \frac{\sqrt{0.083333333333333}}{x}\right)} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

11. Simplified 0.4

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\sqrt{\sqrt{0.083333333333333}} \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{0.083333333333333}\right)}^{1.5}}{x}} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

12. Final simplification 0.4

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \left(\left(\sqrt{\sqrt{0.083333333333333}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.083333333333333}\right)}^{1.5}}{x} + \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022004 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))