Average Error: 43.3 → 0.7
Time: 20.7s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\left(\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right) - im \cdot \sin re \]
\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
\left(\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right) - im \cdot \sin re

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (-
   (* (* (sin re) (pow im 5.0)) -0.008333333333333333)
   (+
    (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3.0)))
    (* 0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im 7.0)))))
  (* im (sin re))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return (((sin(re) * pow(im, 5.0)) * -0.008333333333333333) - ((0.16666666666666666 * (sin(re) * pow(im, 3.0))) + (0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im, 7.0))))) - (im * sin(re));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original43.3
Target0.2
Herbie0.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 43.3

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 0.7

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(\sin re \cdot im + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

  3. Applied *-un-lft-identity_binary640.7

    \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(1 \cdot \sin re\right)} \cdot im + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right) \]

  4. Applied associate-*l*_binary640.7

    \[\leadsto -\left(\color{blue}{1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right) \]

  5. Simplified0.7

    \[\leadsto -\left(1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)} + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right) \]

  6. Final simplification0.7

    \[\leadsto \left(\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right) - im \cdot \sin re \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021357 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))