Average Error: 1.0 → 0.1
Time: 6.1s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot t_0 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{t_0}{3}\right)\right)}\right) \end{array} \]
2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\
2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot t_0 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{t_0}{3}\right)\right)}\right)
\end{array}

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- (/ g h)))))
   (*
    2.0
    (*
     (cbrt
      (pow (cos (+ (* 0.3333333333333333 t_0) (* 0.6666666666666666 PI))) 2.0))
     (cbrt (cos (fma 0.6666666666666666 PI (/ t_0 3.0))))))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos(-g / h) / 3.0));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-(g / h));
	return 2.0 * (cbrt(pow(cos((0.3333333333333333 * t_0) + (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))), 2.0)) * cbrt(cos(fma(0.6666666666666666, ((double) M_PI), (t_0 / 3.0)))));
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied add-sqr-sqrt_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\color{blue}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}\right)\right) \]

  4. Applied associate-/r*_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}}\right)\right) \]

  5. Applied add-cbrt-cube_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\right)\right)}} \]

  6. Simplified1.0

    \[\leadsto 2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}^{3}}} \]

  7. Applied unpow3_binary641.5

    \[\leadsto 2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}} \]

  8. Applied cbrt-prod_binary640.1

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)} \]

  9. Taylor expanded in g around -inf 0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

  10. Final simplification0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021340 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))