Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, E

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Precision: binary64

\[[y, z]=\mathsf{sort}([y, z])\]

Math

\[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -2.047509646876556 \cdot 10^{-62}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), t_1\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 4.086319351349806 \cdot 10^{-57}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c, b, \mathsf{fma}\left(t, \mathsf{fma}\left(y, 18 \cdot \left(x \cdot z\right), -4 \cdot a\right), \mathsf{fma}\left(j \cdot k, -27, -4 \cdot \left(x \cdot i\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1 + x \cdot \mathsf{fma}\left(y, 18 \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (-
  (-
   (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c))
   (* (* x 4.0) i))
  (* (* j 27.0) k)))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (fma a (* t -4.0) (fma -27.0 (* j k) (* b c)))))
   (if (<= x -2.047509646876556e-62)
     (fma x (fma 18.0 (* y (* z t)) (* i -4.0)) t_1)
     (if (<= x 4.086319351349806e-57)
       (fma
        c
        b
        (fma
         t
         (fma y (* 18.0 (* x z)) (* -4.0 a))
         (fma (* j k) -27.0 (* -4.0 (* x i)))))
       (+ t_1 (* x (fma y (* 18.0 (* z t)) (* i -4.0))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	return (((((((x * 18.0) * y) * z) * t) - ((a * 4.0) * t)) + (b * c)) - ((x * 4.0) * i)) - ((j * 27.0) * k);
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	double t_1 = fma(a, (t * -4.0), fma(-27.0, (j * k), (b * c)));
	double tmp;
	if (x <= -2.047509646876556e-62) {
		tmp = fma(x, fma(18.0, (y * (z * t)), (i * -4.0)), t_1);
	} else if (x <= 4.086319351349806e-57) {
		tmp = fma(c, b, fma(t, fma(y, (18.0 * (x * z)), (-4.0 * a)), fma((j * k), -27.0, (-4.0 * (x * i)))));
	} else {
		tmp = t_1 + (x * fma(y, (18.0 * (z * t)), (i * -4.0)));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Bits error versus k

Target

Original	5.3
Target	1.3
Herbie	1.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -1.6210815397541398 \cdot 10^{-69}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \mathbf{elif}\;t < 165.68027943805222:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot \left(z \cdot t\right)\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) + \left(c \cdot b - 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -2.04750964687655605e-62

   1. Initial program 9.8

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

   2. Simplified 2.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)} \]

   if -2.04750964687655605e-62 < x < 4.0863193513498059e-57

   1. Initial program 1.3

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

   2. Simplified 8.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 1.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(c \cdot b + 18 \cdot \left(y \cdot \left(t \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right)\right) - \left(4 \cdot \left(i \cdot x\right) + \left(4 \cdot \left(a \cdot t\right) + 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\right)} \]

   4. Simplified 1.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c, b, \mathsf{fma}\left(t, \mathsf{fma}\left(y, 18 \cdot \left(z \cdot x\right), a \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(k \cdot j, -27, \left(x \cdot i\right) \cdot -4\right)\right)\right)} \]

   if 4.0863193513498059e-57 < x

   1. Initial program 9.4

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k \]

   2. Simplified 2.5

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)} \]

   3. Applied fma-udef_binary64 2.5

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right) + \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)} \]

   4. Simplified 2.6

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \left(t \cdot z\right) \cdot 18, i \cdot -4\right)} + \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 1.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.047509646876556 \cdot 10^{-62}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(18, y \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right), \mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 4.086319351349806 \cdot 10^{-57}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c, b, \mathsf{fma}\left(t, \mathsf{fma}\left(y, 18 \cdot \left(x \cdot z\right), -4 \cdot a\right), \mathsf{fma}\left(j \cdot k, -27, -4 \cdot \left(x \cdot i\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, t \cdot -4, \mathsf{fma}\left(-27, j \cdot k, b \cdot c\right)\right) + x \cdot \mathsf{fma}\left(y, 18 \cdot \left(z \cdot t\right), i \cdot -4\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021313 
(FPCore (x y z t a b c i j k)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, E"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -1.6210815397541398e-69) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b))) (if (< t 165.68027943805222) (+ (- (* (* 18.0 y) (* x (* z t))) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* c b) (* 27.0 (* k j)))) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b)))))

  (- (- (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c)) (* (* x 4.0) i)) (* (* j 27.0) k)))